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.
3
回归方程及回归系数的显著性检验
§
1、回归方程的显著性检验
回归平方和与剩余平方和
(1)
与自变量
,
是否确实存在线性关系呢?这回归效果如何呢?因变量
建立回归方程以后
我们要进一步研究因变
量
,
为此
,
取值的变化规律。
的每次是需要进行统计检验才能加以肯定或否定
常用该次观
侧值
,
每次观测值是有波动的
,
这种波动常称为变差
,
的变差大小取值
而全部次观测
值的总变差可由总的来表示
,
的差
(
称为离差与次观测值的平均值
)
离差平方和
,
:
其中
与均值之差的平方和
, ,
是回归值
它反映了自变量
称为回归平方和
。
(
其自由度为自变量的个数
)
的变化所引起的的波动
,
与回归值之差的平方和是实测值
,
称为剩余平方和
(
或称残差平方和
),
它
的自由度
为其自由度。是由试验误差及其它因素引起的
,
。总的离差平方和
,
反之因此
,
即小大则是确定的
, ,
如果观测值给定
,
是确定的则总的离差平方和
且回归平方和越
大则线性回归效果越显著
,
小则大
,
所以与
,
或者说剩都可用来衡量回归效果
如果
;
=如果
0,
越小回归
效果越显著则线性回归效果大
,
余平方和
,
则回归超平面过所有观测点
不好。
复相关系数
(2)
人们也常引用无量纲指标为检验总的回归效果
,
, (3.1)
或
1 / 6
.
, (3.2)
称为复相关系数。因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”
,
因此就
因
此。是这种贡献在总回归平方和中所占的比例显然
,
表示全部自变量与因变量的相关程度。
, ,
因此它可以作为检
验总的回归效果的一个指标。但应注意与复相关系数越接近1
,
回归效果就越好
因此实际值相对
于并不很大时
,
及观测组数回归方程中自变量的个数有关
, ,
当常有较大的
一般认为应取的5到计
算中应注意的适当比例倍为宜。
,
与
10
至少为
检验
(3)
要检验与是否存在线性关系
,
就是要检验假设
, (3.3)
应用统计量当假设无线性关系
,
成立时
,
否则认为线性关系显著。检验假设则与
, (3.4)
它服从自由度为及这是两个方差之比的分布
,
即
,
, (3.5)
应有统计量下
,
用此统计量
,
成立则当给定检验水平可检验回归的总体效果。如果假设α
, (3.6)
≤
由α
,
值为的值分布表可查得
,
如果根据统计量算得的对于给定的置信度
,
即
,
即不能认为全部
,
则拒绝假设个自变量的总体回归效果是显著的为
O,
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