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一、什么是决策树

1. 基本概念
   决策树是一种树形结构，其组成包括结点(node)和有向边(directed edge)。而结点有两种类型，分别是内部结点(internal node)和叶结点(leaf node)。其中每个内部结点表示一个属性（特征），每个叶节点表示一个类别。由此看来，决策树是一种常用的分类的机器学习方法。
2. 实际举例说明
   相亲对象分类系统的一个简单决策树构建，其中长方形和椭圆形都是结点。长方形的结点属于内部结点，椭圆形的结点属于叶结点，从结点引出的左右箭头就是有向边。也可以解释为有无房子和有无上进心作为特征，值得考虑，备胎，Say Goodbye作为划分的类别。从下面图中可以得到结论是当相亲对象有房子划分为可以考虑，没有房子但有上进心划分为备胎，既没有房子也没有上进心的划分为Say Goodbye。
   
   通过上面的实际举例，可以简单的了解到决策树的基本构成。然而，实际分类中，一般存在多个特征量，所以，可以构建多种树（内部结点代表不同），如何得到最优的那个树便成了一个思考的问题。

二、介绍建立决策树的算法

1. ID3算法
   使用信息增益进行特征选择
   ①某个分类的信息
   $l(x_i)=-lo{g}_{2}P(x_i)$ (其中$p(x_i)$是选择该分类的概率)
   ②熵
   在信息论与概率统计中，熵是表示随机变量不确定性的度量。熵定义为信息的期望值，所以熵的计算方法
   $H=-\sum _{i=1}^{n}P(x_i)lo{g}_{2}P(x_i)$ (其中n是分类的数目）
   ③经验熵
   熵中的概率由数据估计(特别是最大似然估计)得到
   在|D|样本容量(样本个数)下,设有K个类Ck, = 1,2,3,…,K,|Ck|为属于类Ck的样本个数,得到其表达式如下
   $H(D)=-\sum _{k=1}^K\frac{|C_k|}{|D|}lo{g}_2\frac{|C_k|}{|D|}$
   ④条件熵
   在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性，随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵H(Y|X)，定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望
   $H(Y|X)=\sum _{i=1}^n{p}_{i}H(Y|X=x_i)$
   ⑤信息增益
   集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差
   $g(D,A)=H(D)-H(D|A)$

   说明：特征所对应的信息增益值最大，该特征就为最优特征，也就是说信息增益越大，越应该放在决策树的上层

2. C4.5
   使用信息增益率进行特征选择
3. CART
   使用基尼指数进行特征选择

一个属性的信息增益/基尼指数越大，表明该属性对于样本的熵减少的能力更强，同时使数据由不确定性变为确定性的能力更强。本文章重点说明ID3算法。

三、决策树的一般流程

1. 收集数据
   可以使用任何方法。
2. 准备数据
   树构造算法只适用于标称型数据，因此数值型数据必须离散化。
3. 分析数据
   可以使用任何方法，构造树完成之后，我们应该检查图形是否符合预期。
4. 训练算法
   构造树的数据结构。
5. 测试算法
   使用经验树计算错误率。
6. 使用算法
   此步骤可以适用于任何监督学习算法，而使用决策树可以更好地理解数据
   的内在含义。

四、实际举例构建决策树

贷款申请样本数据表

使用ID3算法的原理实现构建决策树

1. 特征选择
   ①数据集进行属性标注
   年龄：0代表青年，1代表中年，2代表老年；
   有工作：0代表否，1代表是；
   有自己的房子：0代表否，1代表是；
   信贷情况：0代表一般，1代表好，2代表非常好；
   类别(是否给贷款)：no代表否，yes代表是
   代码

   from math import logdef createDataSet():dataSet = [[0, 0, 0, 0, 'no'],                        #数据集        [0, 0, 0, 1, 'no'],        [0, 1, 0, 1, 'yes'],        [0, 1, 1, 0, 'yes'],        [0, 0, 0, 0, 'no'],        [1, 0, 0, 0, 'no'],        [1, 0, 0, 1, 'no'],        [1, 1, 1, 1, 'yes'],        [1, 0, 1, 2, 'yes'],        [1, 0, 1, 2, 'yes'],        [2, 0, 1, 2, 'yes'],        [2, 0, 1, 1, 'yes'],        [2, 1, 0, 1, 'yes'],        [2, 1, 0, 2, 'yes'],        [2, 0, 0, 0, 'no']]labels = ['年龄', '有工作', '有自己的房子', '信贷情况']        #特征标签labels1=['放贷','不放贷']return dataSet, labels,labels1                             #返回数据集和特征标签和分类标签

   ②计算经验熵H(D)
   数学计算方式
   $H(D)=-\frac{9}{15}lo{g}_2\frac{9}{15}-\frac{6}{15}lo{g}_2\frac{6}{15}=0.971$
   代码计算方式

   def calcShannonEnt(dataSet):numEntires = len(dataSet)                        #返回数据集的行数labelCounts = {
        }                                #保存每个标签(Label)出现次数的字典for featVec in dataSet:                            #对每组特征向量进行统计    currentLabel = featVec[-1]                    #提取标签(Label)信息    if currentLabel not in labelCounts.keys():    #如果标签(Label)没有放入统计次数的字典,添加进去        labelCounts[currentLabel] = 0    labelCounts[currentLabel] += 1                #Label计数shannonEnt = 0.0                                #经验熵(香农熵)for key in labelCounts:                            #计算香农熵    prob = float(labelCounts[key]) / numEntires    #选择该标签(Label)的概率    shannonEnt -= prob * log(prob, 2)            #利用公式计算return shannonEnt                                #返回经验熵(香农熵)if __name__ == '__main__':dataSet, features = createDataSet()print(dataSet)print(calcShannonEnt(dataSet))

   
   ③计算信息增益
   数学计算
   年龄的信息增益(其中$D_1,D_2,D_3$表示青年,中年,老年)
   $\begin{array}{rl}g(D,A_1)& =H(D)-[\frac{5}{15}H(D_1)+]\frac{5}{15}H(D_2)+\frac{5}{15}H(D_3)]\\ & =0.971-[\frac{5}{15}(-\frac{2}{5}lo{g}_2\frac{2}{5}-\frac{3}{5}lo{g}_2\frac{3}{5})+\frac{5}{15}(-\frac{3}{5}lo{g}_2\frac{3}{5}-\frac{2}{5}lo{g}_2\frac{2}{5})+\frac{5}{15}(-\frac{4}{5}lo{g}_2\frac{4}{5}-\frac{1}{5}lo{g}_2\frac{1}{5})]\\ & =0.971-0.888=0.083\end{array}$
   同理可以计算其他三种特征的信息增益如下
   有无工作的信息增益
   $\begin{array}{rl}g(D,A_2)& =H(D)-[\frac{5}{15}H(D_1)+]\frac{10}{15}H(D_2)]\\ & =0.971-[\frac{5}{15}\times 0+\frac{10}{15}(-\frac{4}{10}lo{g}_2\frac{4}{10}-\frac{6}{10}lo{g}_2\frac{6}{10})]\\ & =0.971-0.647=0.324\end{array}$
   有无房子的信息增益
   $\begin{array}{rl}g(D,A_3)& =H(D)-[\frac{6}{15}H(D_1)+]\frac{9}{15}H(D_2)]\\ & =0.971-[\frac{6}{15}\times 0+\frac{9}{15}(-\frac{3}{9}lo{g}_2\frac{3}{9}-\frac{6}{9}lo{g}_2\frac{6}{9})]\\ & =0.971-0.551=0.420\end{array}$
   信贷情况的信息增益
   $g(D,A_4)=0.971-0.608=0.363$
   代码计算

   """函数说明:按照给定特征划分数据集Parameters:    dataSet - 待划分的数据集    axis - 划分数据集的特征	value - 需要返回的特征的值"""def splitDataSet(dataSet, axis, value):           retDataSet = []                                        #创建返回的数据集列表    for featVec in dataSet:                             #遍历数据集        if featVec[axis] == value:            reducedFeatVec = featVec[:axis]                #去掉axis特征            reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])     #将符合条件的添加到返回的数据集            retDataSet.append(reducedFeatVec)    return retDataSet                                      #返回划分后的数据集"""函数说明:选择最优特征 Parameters:    dataSet - 数据集Returns:    bestFeature - 信息增益最大的(最优)特征的索引值"""def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):    numFeatures = len(dataSet[0]) - 1                    #特征数量    baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)                 #计算数据集的香农熵    bestInfoGain = 0.0                                  #信息增益    bestFeature = -1                                    #最优特征的索引值    for i in range(numFeatures):                         #遍历所有特征        #获取dataSet的第i个所有特征        featList = [example[i] for example in dataSet]        uniqueVals = set(featList)                         #创建set集合{},元素不可重复        newEntropy = 0.0                                  #经验条件熵        for value in uniqueVals:                         #计算信息增益            subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)         #subDataSet划分后的子集            prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet))           #计算子集的概率            newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)     #根据公式计算经验条件熵        infoGain = baseEntropy - newEntropy                     #信息增益        print("第%d个特征的增益为%.3f" % (i, infoGain))            #打印每个特征的信息增益        if (infoGain > bestInfoGain):                             #计算信息增益            bestInfoGain = infoGain                             #更新信息增益，找到最大的信息增益            bestFeature = i                                     #记录信息增益最大的特征的索引值    return bestFeature                                             #返回信息增益最大的特征的索引值if __name__ == '__main__':	dataSet, features = createDataSet()	print("最优特征索引值:" + str(chooseBestFeatureToSplit(dataSet)))

   
   通过上面数学计算或者代码计算结果，可以看出特征A3(有自己的房子)的信息增益值最大，所以选择A3作为最优特征（根节点）
   根据根节点，将训练集D划分为两个子集D1(A3取值为"是")和D2(A3取值为"否")。从数据集中可以发现D1只有同一类的样本点，所以它成为一个叶结点，结点的类标记为“是”(同意放贷),对应另外一个叶节点的确定方式是在D2数据样本中，选出信息增益最大的作为此叶节点，也可以理解为在D2数据集中，从除有无房子以外的特征选出一个新的特征，作为叶节点。实际此过程就是一个递归的过程。
2. 决策树的生成

   """函数说明:统计classList中出现此处最多的元素(类标签)Parameters:    classList - 类标签列表Returns:    sortedClassCount[0][0] - 出现此处最多的元素(类标签)"""def majorityCnt(classList):    classCount = {
        }    for vote in classList:                                        #统计classList中每个元素出现的次数        if vote not in classCount.keys():classCount[vote] = 0           classCount[vote] += 1    sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key = operator.itemgetter(1), reverse = True)        #根据字典的值降序排序    return sortedClassCount[0][0]                                #返回classList中出现次数最多的元素"""函数说明:创建决策树Parameters:    dataSet - 训练数据集    labels - 分类属性标签    featLabels - 存储选择的最优特征标签Returns:    myTree - 决策树"""def createTree(dataSet, labels, featLabels):    classList = [example[-1] for example in dataSet]            #取分类标签(是否放贷:yes or no)    if classList.count(classList[0]) == len(classList):            #如果类别完全相同则停止继续划分        return classList[0]    if len(dataSet[0]) == 1 or len(labels) == 0:                                    #遍历完所有特征时返回出现次数最多的类标签        return majorityCnt(classList)    bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)                #选择最优特征    bestFeatLabel = labels[bestFeat]                            #最优特征的标签    featLabels.append(bestFeatLabel)    myTree = {
        bestFeatLabel:{
        }}                                    #根据最优特征的标签生成树    del(labels[bestFeat])                                        #删除已经使用特征标签    featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]        #得到训练集中所有最优特征的属性值    uniqueVals = set(featValues)                                #去掉重复的属性值    for value in uniqueVals:                                   #遍历特征，创建决策树。                subLabels = labels[:]                       myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels, featLabels)    return myTreeif __name__ == '__main__':    dataSet, labels,labels1 = createDataSet()    featLabels = []    myTree = createTree(dataSet, labels, featLabels)    print(myTree)

   
3. 决策树的可视化

   """函数说明:获取决策树叶子结点的数目 Parameters:    myTree - 决策树Returns:    numLeafs - 决策树的叶子结点的数目"""def getNumLeafs(myTree):    numLeafs = 0                                                #初始化叶子    firstStr = next(iter(myTree))                                #python3中myTree.keys()返回的是dict_keys,不在是list,所以不能使用myTree.keys()[0]的方法获取结点属性，可以使用list(myTree.keys())[0]    secondDict = myTree[firstStr]                                #获取下一组字典    for key in secondDict.keys():        if type(secondDict[key]).__name__=='dict':                #测试该结点是否为字典，如果不是字典，代表此结点为叶子结点            numLeafs += getNumLeafs(secondDict[key])        else:   numLeafs +=1    return numLeafs"""函数说明:获取决策树的层数Parameters:    myTree - 决策树Returns:    maxDepth - 决策树的层数"""def getTreeDepth(myTree):    maxDepth = 0                                                #初始化决策树深度    firstStr = next(iter(myTree))                                #python3中myTree.keys()返回的是dict_keys,不在是list,所以不能使用myTree.keys()[0]的方法获取结点属性，可以使用list(myTree.keys())[0]    secondDict = myTree[firstStr]                                #获取下一个字典    for key in secondDict.keys():        if type(secondDict[key]).__name__=='dict':                #测试该结点是否为字典，如果不是字典，代表此结点为叶子结点            thisDepth = 1 + getTreeDepth(secondDict[key])        else:   thisDepth = 1        if thisDepth > maxDepth: maxDepth = thisDepth            #更新层数    return maxDepth """函数说明:绘制结点Parameters:    nodeTxt - 结点名    centerPt - 文本位置    parentPt - 标注的箭头位置    nodeType - 结点格式"""def plotNode(nodeTxt, centerPt, parentPt, nodeType):    arrow_args = dict(arrowstyle="<-")                                            #定义箭头格式    font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)        #设置中文字体    createPlot.ax1.annotate(nodeTxt, xy=parentPt,  xycoords='axes fraction',    #绘制结点        xytext=centerPt, textcoords='axes fraction',        va="center", ha="center", bbox=nodeType, arrowprops=arrow_args, FontProperties=font) """函数说明:标注有向边属性值Parameters:    cntrPt、parentPt - 用于计算标注位置    txtString - 标注的内容"""def plotMidText(cntrPt, parentPt, txtString):    xMid = (parentPt[0]-cntrPt[0])/2.0 + cntrPt[0]                                            #计算标注位置                       yMid = (parentPt[1]-cntrPt[1])/2.0 + cntrPt[1]    createPlot.ax1.text(xMid, yMid, txtString, va="center", ha="center", rotation=30) """函数说明:绘制决策树Parameters:    myTree - 决策树(字典)    parentPt - 标注的内容    nodeTxt - 结点名"""def plotTree(myTree, parentPt, nodeTxt):    decisionNode = dict(boxstyle="sawtooth", fc="0.8")                                        #设置结点格式    leafNode = dict(boxstyle="round4", fc="0.8")                                            #设置叶结点格式    numLeafs = getNumLeafs(myTree)                                                          #获取决策树叶结点数目，决定了树的宽度    depth = getTreeDepth(myTree)                                                            #获取决策树层数    firstStr = next(iter(myTree))                                                            #下个字典                                                     cntrPt = (plotTree.xOff + (1.0 + float(numLeafs))/2.0/plotTree.totalW, plotTree.yOff)    #中心位置    plotMidText(cntrPt, parentPt, nodeTxt)                                                    #标注有向边属性值    plotNode(firstStr, cntrPt, parentPt, decisionNode)                                        #绘制结点    secondDict = myTree[firstStr]                                                            #下一个字典，也就是继续绘制子结点    plotTree.yOff = plotTree.yOff - 1.0/plotTree.totalD                                        #y偏移    for key in secondDict.keys():                                       if type(secondDict[key]).__name__=='dict':                                            #测试该结点是否为字典，如果不是字典，代表此结点为叶子结点            plotTree(secondDict[key],cntrPt,str(key))                                        #不是叶结点，递归调用继续绘制        else:                                                                                #如果是叶结点，绘制叶结点，并标注有向边属性值                                                         plotTree.xOff = plotTree.xOff + 1.0/plotTree.totalW            plotNode(secondDict[key], (plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, leafNode)            plotMidText((plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, str(key))    plotTree.yOff = plotTree.yOff + 1.0/plotTree.totalD """函数说明:创建绘制面板Parameters:    inTree - 决策树(字典)"""def createPlot(inTree):    fig = plt.figure(1, facecolor='white')                                                    #创建fig    fig.clf()                                                                                #清空fig    axprops = dict(xticks=[], yticks=[])    createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon=False, **axprops)                                #去掉x、y轴    plotTree.totalW = float(getNumLeafs(inTree))                                            #获取决策树叶结点数目    plotTree.totalD = float(getTreeDepth(inTree))                                            #获取决策树层数    plotTree.xOff = -0.5/plotTree.totalW; plotTree.yOff = 1.0;                                #x偏移    plotTree(inTree, (0.5,1.0), '')                                                            #绘制决策树    plt.show()                                                                                 #显示绘制结果     if __name__ == '__main__':    dataSet, labels = createDataSet()    featLabels = []    myTree = createTree(dataSet, labels, featLabels)    print(myTree)      createPlot(myTree)

   
   整个构建决策树的过程，重点理解如何进行信息增益的求。除此之外，需要理解递归的过程。

参考链接

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