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第一章 离散时间信号与系统
离散时间信号
离散时间信号常用序列来表示。序列是时间上不连续的一串样本值的几何{x(n)},n为整型变量,n为整型变量,x(n)表示序列中的第n个样本值符号,{
⋅ \cdot ⋅}表示全部样本值的集合 {x(n)}既可以使实数序列,也可以是复数序列。{x(n)}的复共轭序列用{x*(n)}表示,为方便通常去掉{} 用x(n)表示序列离散时间信号x(n)是从连续时间信号 x a ( t ) x_a(t) xa(t)采样得到的,对于等时间间隔的采样(均匀采样)
x ( n ) = x a ( t ) ∣ t = n T = x a ( n T ) x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT) x(n)=xa(t)∣t=nT=xa(nT) T表示两个样本间的时间间隔称作采样周期,采样周期的倒数称为采样频率,即 f s = 1 T f_s=\frac{1}{T} fs=T1
几种常见的信号
1.单位脉冲序列
δ ( n ) = { 1 , n = 0 0 , n ≠ 0 \delta(n) =\begin{cases} {1,n=0}\\ {0,n \neq 0} \end{cases} δ(n)={ 1,n=00,n̸=0
序列 δ ( n ) \delta(n) δ(n)又称为离散冲激,或简称为冲激。它的作用类似于模拟系统中的单位冲激函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t)
但 δ ( t ) \delta(t) δ(t)是非现实的信号,而 δ ( n ) \delta(n) δ(n)是现实的序列2.单位阶跃序列
u ( n ) = { 1 , n ≥ 0 0 , n < 0 u(n) =\begin{cases} {1,n\geq0}\\ {0,n < 0} \end{cases} u(n)={ 1,n≥00,n<0
类似连续时间信号中的单位阶跃信号
3.矩形序列
R N ( n ) = { 1 , 0 ≤ n ≤ N − 1 0 , n < 0 , n ≥ N R_N(n) =\begin{cases} {1,0\leq n\leq N-1}\\ {0,n < 0,n \geq N} \end{cases} RN(n)={ 1,0≤n≤N−10,n<0,n≥N
从n=0开始,含有N个幅度为1的数值,其余为零
4.实指数序列
x ( n ) = a n u ( n ) x(n)=a^nu(n) x(n)=anu(n)
式中,a为不等于0的任意实数,当|a|<1时,序列收敛,当|a|>1时,序列发散
5.正弦序列
x ( n ) = s i n ( ω 0 n ) x(n)=sin(\omega_0 n) x(n)=sin(ω0n)
ω 0 \omega _0 ω0是数字域角频率,单位是rad(弧度)
6.复指数序列
x ( n ) = ( r e j ω 0 ) n = r n [ c o s ( ω 0 ) + j s i n ( ω 0 n ) ] x(n)=(re^{j\omega_0})^n=r^n[cos(\omega_0)+jsin(\omega_0 n)] x(n)=(rejω0)n=rn[cos(ω0)+jsin(ω0n)]
复指数序列的底数 a = r e j ω 0 a=re^{j\omega_0} a=rejω0,当r=1时,x(n)的实部和虚部分别是余弦和正弦序列
复指数序列可以用其幅度和相位表示,也可以用实部进而虚部来表示离散周期序列
对于一个周期为N的离散周期序列记做 x ‾ ( n ) \overline{x}(n) x(n)(顶上应该是波浪线,没有固用横线代替)
x ‾ ( n ) = x ‾ ( n + k N ) , 0 ≤ n ≤ N − 1 , k 为 任 意 正 整 数 \overline{x}(n)=\overline{x}(n+kN),0\leq n\leq N-1,k为任意正整数 x(n)=x(n+kN),0≤n≤N−1,k为任意正整数
讨论 x ( n ) = s i n ( ω 0 n ) x(n)=sin(\omega_0 n) x(n)=sin(ω0n)的周期性
则 x ( n + N ) = s i n ( ω 0 ( n + N ) ) x(n+N)=sin(\omega_0(n+N)) x(n+N)=sin(ω0(n+N)) 满足 ω 0 N = 2 π i \omega_0 N=2\pi i ω0N=2πi,i为整数时,根据定义 x ( n ) = x ( n + N ) x(n)=x(n+N) x(n)=x(n+N) 所以sin(\omega_0 n)为周期序列,周期是 N = 2 π i ω 0 N=\frac{2\pi i}{\omega_0} N=ω02πi,当i=1时,N N = 2 π ω 0 N=\frac{2\pi }{\omega_0} N=ω02π成了最小的函数周期 对于复指数序列,当r=1时周期性与正弦序列相同序列的运算
(1)序列的相加
两个长度相等的序列x(n),y(n),则z(n)=x(n)+y(n)表示这两个序列的相加。 (2)序列的相乘 f(n)=x(n)y(n),将两序列逐值相乘形成新序列 (3)序列的移位 序列x(n)平移 n 0 n_0 n0个序数,可以表示为 y ( n ) = x ( n − n 0 ) y(n)=x(n-n_0) y(n)=x(n−n0). n 0 > 0 n_0>0 n0>0时,y(n)是x(n)的延迟, n 0 < 0 n_0<0 n0<0时,y(n)超前x(n) (4)序列的能量以及序列的绝对值 序列的能量定义 S = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ 2 S=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2 S=n=−∞∑∞∣x(n)∣2 如果序列的能量满足 ∑ n = − ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ 2 < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2<\infty n=−∞∑∞∣x(n)∣2<∞ 则 x ( n ) x(n) x(n)为平方可和序列。 如果序列x(n)满足 ∑ n = − ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|<\infty n=−∞∑∞∣x(n)∣<∞ 则 x ( n ) x(n) x(n)为绝对可和序列 如果一个序列x(n)的每一个样本的绝对值均小于某一个有限的正整数 B x B_x Bx,则x(n)为有界序列,即 ∣ x ( n ) ∣ ≤ B x ≤ ∞ |x(n)|\leq B_x\leq\infty ∣x(n)∣≤Bx≤∞ (5)实序列的偶部和奇部 对于所有的n,有x(n)=x(-n),则x(n)称为偶序列,x(n)=-x(-n),则x(n)称为奇序列 任何序列均可以分解成偶对称序列和奇对称序列 x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n)=x_e(n)+x_o(n) x(n)=xe(n)+xo(n) x e ( n ) x_e(n) xe(n)和 x o ( n ) x_o(n) xo(n)也分别称为x(n)的偶部和奇部,它们分别等于 x e ( n ) = 1 2 [ x ( n ) + x ( − n ) ] x_e(n)=\frac{1}{2}[x(n)+x(-n)] xe(n)=21[x(n)+x(−n)] x o ( n ) = 1 2 [ x ( n ) − x ( − n ) ] x_o(n)=\frac{1}{2}[x(n)-x(-n)] xo(n)=21[x(n)−x(−n)] (6)任意序列的单位脉冲序列表示 任一新序列都可以表示成单位脉冲蓄力的移位的加权和,即 x ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) δ ( n − m ) x(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)\delta(n-m) x(n)=∑m=−∞∞x(m)δ(n−m)离散时间信号的傅里叶变换和z变换
离散时间信号灯的傅里叶变换
离散时间傅里叶变换即DTFT(discrete-time Fourier transform)
序列x(n)的DTFT定义为 X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} X(ejω)=n=−∞∑∞x(n)e−jωn (类似傅里叶级数) 式中, ω \omega ω为数字角频率,它是频率f对采样频率fs作归一化后的角频率 ω = 2 π f f s \omega=\frac{2\pi f}{f_s} ω=fs2πf X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)是 ω \omega ω的连续函数,并且是以 2 π 2\pi 2π为周期的 上式级数不一定收敛,如单位阶跃序列 收敛的充分条件是 ∑ n = − ∞ ∞ ∣ x ( n ) e − j ω n ∣ = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)e^{-j\omega n}|=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|<\infty ∑n=−∞∞∣x(n)e−jωn∣=∑n=−∞∞∣x(n)∣<∞ 即x(n)绝对可和,则它的DTFT一定存在。同时,也可以推断,有限长序列总是满足绝对可和条件的,其DTFT也总是存在的。 用 e j ω m e^{j\omega m} ejωm乘以定义式的凉拌,并在 ω \omega ω的一个周期的积分 可得 ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω m d ω = ∫ − π π [ ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n ] e j ω m \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega m}d\omega =\int_{-\pi}^{\pi}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}]e^{j\omega m} ∫−ππX(ejω)ejωmdω=∫−ππ[n=−∞∑∞x(n)e−jωn]ejωm = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ∫ − π π e j ω ( m − n ) d ω = 2 π ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) δ ( m − n ) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\int_{-\pi}^{\pi}e^{j\omega (m-n)}d\omega=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\delta(m-n) =n=−∞∑∞x(n)∫−ππejω(m−n)dω=2πn=−∞∑∞x(n)δ(m−n) 即 x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω n d ω x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi }X(e^{j\omega})e^{j\omega n }d\omega x(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωndω 这就是离散时间信号的逆傅里叶变换(IDTFT) 对应关系 X ( e j ω ) = D T F T [ x ( n ) ] X(e^{j\omega})=DTFT[x(n)] X(ejω)=DTFT[x(n)] x ( n ) = I D T F T [ X ( e j ω ) ] x(n)=IDTFT[X(e^{j\omega})] x(n)=IDTFT[X(ejω)]一般来说, X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)是实变量 ω \omega ω的复函数,可以用实部和虚部表示
X ( e j ω ) = R e [ X ( e j ω ) ] + j I m [ X ( e j ω ) ] X(e^{j\omega})=Re[X(e^{j\omega})]+jIm[X(e^{j\omega})] X(ejω)=Re[X(ejω)]+jIm[X(ejω)] 也可以用幅度和相位表示 X ( e j ω ) = ∣ X ( e j ω ) ∣ e j φ ( ω ) X(e^{j\omega})=|X(e^{j\omega})|e^{j\varphi(\omega)} X(ejω)=∣X(ejω)∣ejφ(ω)性质
信号与系统中有详述
z变换
z变换的定义式
X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n 式中,z是复变量,也可记 Z [ x ( n ) ] = X ( z ) \mathscr{Z}[x(n)]=X(z) Z[x(n)]=X(z) 对于所有的序列,z变换并不总是收敛的。收敛区域是 R x − < ∣ z ∣ < R x + R_{x-}<|z|<R_{x+} Rx−<∣z∣<Rx+(一般 R x − R_{x-} Rx−可以小到0, R x + R_{x+} Rx+可以大到 ∞ \infty ∞)收敛域的讨论
(1)有限长序列。 仅有有限个数的序列值是非零值,从而 X ( z ) = ∑ n = n 1 n 2 x ( n ) z − n X(z)=\sum_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{-n} X(z)=∑n=n1n2x(n)z−n 式中, n 1 n_1 n1和 n 2 n_2 n2是有限整数,收敛域至少是0<|z|< ∞ \infty ∞ (2).右边序列。右边序列是n< n 1 n_1 n1时x(n)=0的序列,z变换为 X ( z ) = ∑ n = n 1 ∞ x ( n ) z − n X(z)=\sum_{n=n_1}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=∑n=n1∞x(n)z−n 右边序列的收敛区域是一个半径为 R x − R_{x-} Rx−,即 |z|> R x − R_{x-} Rx− 若 n 1 ≥ n_1\geq n1≥,则z变换在z= ∞ \infty ∞处收敛,反之,若 n 1 n_1 n1<0,则它在z= ∞ \infty ∞处将不收敛 (3)左边序列。左边序列是n> n 2 n_2 n2时x(n)=0的序列,z变换为 X ( z ) = ∑ n = − ∞ n 2 x ( n ) z − n X(z)=\sum_{n=-\infty}^{n_2}x(n)z^{-n} X(z)=∑n=−∞n2x(n)z−n 左边序列的收敛区域是一个圆的内部,即 |z|< R x + R_{x+} Rx+ 若 n 2 n_2 n2<0,则左边序列的z变换在z=0处收敛 (4)双边序列。一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和,因此双边序列z变换的收敛域就是这两个序列z变换的公共收敛区间 X ( z ) = ∑ n = n 1 ∞ x ( n ) z − n + ∑ n = − ∞ n 2 x ( n ) z − n X(z)=\sum_{n=n_1}^{\infty}x(n)z^{-n}+\sum_{n=-\infty}^{n_2}x(n)z^{-n} X(z)=∑n=n1∞x(n)z−n+∑n=−∞n2x(n)z−n 所以收敛域为 R x − < ∣ z ∣ < R x + R_{x-}<|z|<R_{x+} Rx−<∣z∣<Rx+ 若 R x − > R x + R_{x-}>R_{x+} Rx−>Rx+,则没有公共区域,不能收敛逆z变换
公式
x ( n ) = 1 2 π j ∮ C X ( z ) z n − 1 d z x(n)=\frac{1}{2\pi j }\oint_{C}X(z)z^{n-1}dz x(n)=2πj1∮CX(z)zn−1dz直接用公式求很麻烦,具体求解在信号与系统里有
z变换的性质
具体在信号与系统里
z变换域DTFT的关系
一个序列x(n)的z变换是
X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n DTFT是 X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j n ω X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jn\omega} X(ejω)=n=−∞∑∞x(n)e−jnω 令 z = e j ω z=e^{j\omega} z=ejω X ( z ) ∣ z = e j ω = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j n ω X(z)|z=e^{j\omega}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jn\omega} X(z)∣z=ejω=n=−∞∑∞x(n)e−jnω 可以看出,当 z = e j ω z=e^{j\omega} z=ejω时,z变换和DFTF相等。也就是说,采样序列圆上的z变换就等于该采样序列的DTFT。由于 e j ω = e j ( ω + 2 k π ) e^{j\omega}=e^{j(\omega+2k\pi)} ejω=ej(ω+2kπ),所以 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)是以 2 π 2\pi 2π为周期的周期函数,z平面单位圆上的一周正好对应 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)的一个周期Parseval定理
离散时间系统
将输入序列映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算,亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。记为
y ( n ) = T [ x ( n ) ] y(n)=T[x(n)] y(n)=T[x(n)]线性系统
满足叠加原理
时不变系统
T [ x ( n ) ] = y ( n ) T[x(n)]=y(n) T[x(n)]=y(n)
T [ x ( n − n 0 ) ] = y ( n − n 0 ) T[x(n-n_0)]=y(n-n_0) T[x(n−n0)]=y(n−n0) x(n)移位和变换后移位是等效的线性时不变系统
单位脉冲响应可以表示为
h ( n ) = T [ δ ( n ) ] h(n)=T[\delta(n)] h(n)=T[δ(n)] 根据上式可以得到任一输入序列x(n)的响应 y ( n ) = T [ x ( n ) ] = T [ ∑ k = − ∞ ∞ x ( k ) δ ( n − k ) ] y(n)=T[x(n)]=T[\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)\delta(n-k)] y(n)=T[x(n)]=T[k=−∞∑∞x(k)δ(n−k)] 由于系统是线性的,所以 y ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ x ( k ) T [ δ ( n − k ) ] y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)T[\delta(n-k)] y(n)=k=−∞∑∞x(k)T[δ(n−k)] 由于系统是时不变的,即有 T [ δ ( n − k ) ] = h ( n − k ) T[\delta(n-k)]=h(n-k) T[δ(n−k)]=h(n−k) 从而得到 y ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ x ( k ) h ( n − k ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)h(n-k)=x(n)* h(n) y(n)=k=−∞∑∞x(k)h(n−k)=x(n)∗h(n)matlab 中离散用conv函数
稳定系统和因果系统
只要输入序列是有界的,其输出必定是有界的,这样的系统称为稳定系统。稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应应绝对可和,即
∑ n = − ∞ ∞ ∣ h ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<\infty n=−∞∑∞∣h(n)∣<∞因果系统就是系统的输出y(n)取决于此时,以及此时以前的输入,即x(n),x(n-1),x(n-2)等。相反,如果系统的输出y(n)不仅取决于现在和过去的输入,而且取决于未来的输入,如x(n+1),x(n+2)等,这在时间上就违背 了因果规律
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