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反向传播算法（Backpropagation）

一.简介

无论是机器学习，还是深度学习。都绕不开一个梯度下降。在进行深度学习简介的时候，我们有介绍过深度学习的大致步骤，分别为：

• 构建神经网络
• 数据拟合
• 选出最佳模型

其中，选出最佳模型的方式，其实就是利用梯度下降算法，选出损失函数最小的那个。在传统的机器学习当中，这个比较容易，直接算就行了。但是在深度学习当中，由于存在输入层，隐藏层，输出层，且隐藏层到底有多深，这些都是未知数，因此计算也会更加繁杂。

如果，在输出层输出的数据和我们设定的目标以及标准相差比较大，这个时候，就需要反向传播。利用反向传播，逐层求出目标函数对各神经元权值的偏导数，构成目标函数对权值向量的梯度，之所以算这个，是为了对权值的优化提供依据，等权值优化了之后，再转为正向传播……当输出的结果达到设定的标准时，算法结束。

二.反向传播原理

2.1 导数的链式法则

反向传播的基本原理其实不难，基本理论就是大学高等数学当中的导数计算。我们需要了解的就是链式法则：

$$\begin{gathered} 若y=g(x),z=h(y),则： \\ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 若x=g(s),y=h(s),z=k(x,y),则： \\ \frac{dz}{ds}=\frac{dz}{dx}\frac{dx}{ds}+\frac{dz}{dy}\frac{dy}{ds} \end{gathered}$$

2.2 正向传播与反向传播

我们还是用逻辑回归的神经元为例：

很显然，在这神经元当中z = w1x1+w2x2 + b。最后，这个线性方程z会被代入到Sigmoid函数当中，也就是说： $$Sigmoid函数：a=\sigma (z)$$

我们知道，无论是机器学习，还是深度学习，计算之后都会产生一定的损失值，我们把这个损失函数记为l。

在一部分当中，我们有说过，反向传播的最终目的是修正权值w，那么我们让l对w求偏导，根据链式准则： $$\frac{\partial l}{\partial w}=\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial l}{\partial z}（公式0）$$ 其中，z对w求偏导这一步其实不难，不就是z对w求导嘛，我们很容易就能算出： $$\frac{\partial z}{\partial w_1}=x_1,\frac{\partial z}{\partial w_2}=x_2$$

而x1,x2其实就是最开始的输入值，因此可以当做是已知的。上面这个计算过程，就是正向传播

而l对z求导，这个部分其实很复杂。这一部分的求解过程，就是反向传播。那么这个部分该怎么求呢？如下所示：

$$\frac{\partial l}{\partial z}=\frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial l}{\partial a}={\sigma }^{\prime }(z)\frac{\partial l}{\partial a}（公式1）$$

如果这个神经网络稍微复杂一点呢？比如说，像下面这样：

那么，我们根据链式法则，就可以得到： $$\frac{\partial l}{\partial a}=\frac{\partial z^{\prime }}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z^{\prime }}+\frac{\partial z^{\prime \prime }}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z^{\prime \prime }}=w_3\frac{\partial l}{\partial z^{\prime }}+w_4\frac{\partial l}{\partial z^{\prime \prime }}$$

上面这个式子与公式1结合，就是：

$$\frac{\partial l}{\partial z}={\sigma }^{\prime }(z)[w_3\frac{\partial l}{\partial z^{\prime }}+w_4\frac{\partial l}{\partial z^{\prime \prime }}]（公式2）$$参考下面这个图看一看 如此一来，反向传播的这一部分，我们也知道了求解原理。

对于公式2的方式，人们梳理了一下这个过程像极了如下所示的这个流程。即：先求l对z’的导，以及l对z’‘的导，然后分别乘以w3和w4，在结合sigma’（z），于是有人就根据这个计算流程，画出来了下面这个图：

这其实不就是我们所举的这个神经网络，把箭头全都倒过来嘛。因此，便有了“反向传播”的说法。

这当中，我们注意红色标注的sigma’(z)，这个是Simoid函数对z进行求导的结果。由于在正向传播的时候，z是什么其实已经知道了，sigomid函数我们也是知道的，因此sigma’(z)我们也是已知的。

不过，又产生新的问题了。dl/dz的求解，明显依赖于dl/dz’，以及dl/dz’’。那么这两项又是如何求的呢？答案是：根据输出值去求。任何一组数据，在经过神经网络运算之后，都会产生一个输出值，我们记为y。如下所示：

这个时候，我们就要分情况讨论了。

• 第一种情况：y1与y2在都在输出层
  这个时候，比较简单，根据下面这个公式，直接套用即可：
  $$\begin{gathered} \frac{\partial l}{\partial z^{\prime }}=\frac{\partial y_1}{\partial z^{\prime }}\frac{\partial l}{\partial y_1} \\ \frac{\partial l}{\partial z^{\prime \prime }}=\frac{\partial y_2}{\partial z^{\prime \prime }}\frac{\partial l}{\partial y_2} \end{gathered}$$
• 第二种情况：y1,y2存在不在输出层的情况
  这个时候，那就一直算到输出层，然后再从输出层往回传播即可。

关于这部分的一些细节问题，看

这里的细节，主要体现在l到底是什么，又是如何求导的。

三.总结

正向传播与反向传播其实是同时使用的。

首先，你需要正向传播，来计算z对w的偏导，进而求出sigmoid’(z)是多少。然后，根据输出层输出的数据进行反向传播，计算出l对z的偏导是多少，最后，代入到公式0当中，即可求出l对w的偏导是多少。注意，这个偏导，其实反应的就是梯度。然后我们利用梯度下降等方法，对这个w不断进行迭代（也就是权值优化的过程），使得损失函数越来越小，整体模型也越来越接近于真实值。

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