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分布函数的拟合检验：

• • 皮尔逊定理：不论$F_0(x)$是什么分布，当$H_0:F(x)=F_0(x)$正确时，则检验统计量$\eta ={\sum }_{i=1}^m\frac{(v_i-n\times p_i{)}^2}{n\times p_i}={\sum }_{i=1}^m\frac{v_i^2}{n\times p_i}-n$，故统计量$\eta$以自由度$m-1$的${\chi }^2-$分布为极限分布，其中$F_0(x)$不带有任何参数。其中$v_i$为实测频数，$n\times p_i$为理论频数
  • 皮尔逊${\chi }^2$检验的五个步骤
    • 抽样
    • 频数分布表
    • 计算理论频数
    • 建立检验统计量：$\eta ={\sum }_{i=1}^m\frac{(v_i-n\times p_i{)}^2}{n\times p_i}={\sum }_{i=1}^m\frac{v_i^2}{n\times p_i}-n$
    • $H_0$的显著性检验：$H_0:F(x)=F_0(x),H_1:F(x)\ne F_0(x)$

随机变量间的独立性检验

• • Pearson相关系数
    • 局限
      • 须假设数据是成对地从正态分布中取得的
      • 数据至少在逻辑范围内是等距的
  • Spearman秩相关系数
    • 特点：无参数（与分布无关）检验方法，用于度量变量之间联系的强弱
  • 相关性与相似性
    • 相关性：相关系数
    • 相似性：余弦相似度
• • ${\chi }^2$独立性检验的列联表检验法
    • 无参假设检验
    • 自由度：(rows-1)*(cols-1) = $(r-1)\times (s-1)$
    • ：$\eta =n\times {\sum }_{i=1}^r{\sum }_{k=1}^s\frac{(n_{ik}-\frac{n_{i.}\times n_{.k}}{n}{)}^2}{n_{i.}\times n_{.k}}={\sum }_i^{kk+1}\frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}\sim {\chi }^2(kk)$，$kk=(r-1)\times (s-1)$，即各个列表元素的卡方值之和（每个元素的卡方值：$\frac{(O-E{)}^2}{E}$，其中$O$：实验观测值，$E$：期望值）
    • 结论：在给定置信度$1-\alpha$的情况下，用检验统计量$\eta$与该置信度下的自由度为$(r-1)\times (s-1)$ 的卡方值(查表得)比较
      • 当$\eta$ 大于 查表所得值时，则否定$H_0$的相互独立的假设；反之亦然
      • 在置信度和自由度不变的情况下，$\eta$值越小说明变量之间越独立($H_0成立$)，越大说明变量之间越相关($H_1成立$)

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