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2009年9月刊《程序员》算法题之我见——思索之一

笔者业余时间喜欢研究一些算法，也经常的阅读各类计算机杂志并对其中的算法题研究考量一番

翻阅了2009年9月刊《程序员》，其中的一道算法题吸引了我。虽然至今还没有理解透，但是也小有心得。拿在这个和大家交流一番。

先把题目复述一遍。

如何为实习生安排座位

有道最近招聘了一批实习生，给他们安排座位时遇到一个有趣的问题。办公室有N排，每排有M个座位。为了方便实习生和全职员工更好的交流，安排座位时，我们不让任何2个实习生座位水平、竖直、或者对角线相邻。求满足安排方案的总数。

文章最后给了一个测试条件：M=15，N=150，每排4人，求方案总数。

文章给了3个解决方案。可惜本人愚笨，没有能力参悟，只有自己一个人抽丝剥茧，层层深入，期待有朝一日，能够理解透。

为了描述方便，一共有N排，每排M个座位，每排安排P个实习生

问题一，M=15，则P最大为多少？毫无疑问P最大为8人。

而且这8人只有一种安排法

如图

示意图，红色表示实习生

问题二，M=S，P最大为多少？

参照问题一，可知，当S为奇数时，P最大为（S+1）/2；当S为偶数时，P最大为S/2

问题三，M=15，N=1，P=4，安排方案总数？

用一个函数表示安排总数F（M，P），其中M为座位数，P为人数，返回的是方案总数

不难理解，本题就是计算F（15，4）

而且，F还满足递归，即

F（15，4）=F（13，3）+F（12，3）+F（11，3）……+F（1，3）

那么，很容易的，该函数马上就能用代码表示出来

Private Function F(ByVal M As Integer, ByVal P As Integer) As Integer

        If P <= 0 OrElse M <= 0 Then Return 0

        If P = 1 Then Return M

        If P * 2 = M + 1 Then Return 1

        If P * 2 > M + 1 Then Return 0

        Dim i As Integer, S As Integer, tS As Integer

        S = 0

        For i = M - 2 To 1 Step -1

            tS = F(i, P - 1)

            If tS = 0 Then

                Return S

            Else

                S += tS

            End If

        Next

        Return S

    End Function

经计算，F（15，4）=495，所以本问题的解为495

问题四，M=15，N=2，P=4，安排方案总数？

由问题三可知，每排的可能性有495种，是不是意味着两排就一定是495²种呢？很显然，不是的。因为这两排彼此之间还互相有影响。下面举两个例子

例子一：下面这个情况就不符合题意

示意图，红色表示实习生

例子二：下面这个情况就符合题意

示意图，红色表示实习生

可见，对于第一行的每种情况，第二行并不完全都符合，还得分情况考虑。如果执着于分情况考虑，未免工作量太大。

仔细观察例子二情况，突然发现如果将两排压缩为一排的话，正好是问题一的图。而例子一压缩为一排的话，就不是问题一的图。

于是，基于此，提出一个假设。

该问题的每一个解都能压缩成问题一的图，而本题的每一个不成立的解都压不成问题一的解。也就是说，把问题一的图中随机选出四个位置作为第一排的情况，则另外四个位置就是第二排的情况。

则本题的答案就很明了了，C（8，4）=70种，C表示组合函数，这里就不详细解释了。

问题五：M=15，N=150，P=4，求方案总数

这是一开始的测试情况。也是问题四的延伸。这样想，第一排的位置定下来的话，第二排就一种情况。这是问题四的解。同时，第三排也就一种情况，和第一排相同，第四排受第三排的影响，也是一种情况，和第二排相同。以此类推，本题的解就是问题四的解C（8，4）=70种。

暂且思考到这儿，先把测试的情况计算出来。这个思路对其他的情况有着参考的作用。日后再撰文，与大家交流。

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