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引言

在进一步分析为什么MySQL数据库索引选择使用B+树之前，我相信很多小伙伴对数据结构中的树还是有些许模糊的，因此我们由浅入深一步步探讨树的演进过程，在一步步引出B树以及为什么MySQL数据库索引选择使用B+树！

学过数据结构的一般对最基础的树都有所认识，因此我们就从与我们主题更为相近的二叉查找树开始。

1. 二叉查找树

1.1. 二叉树简介

二叉查找树也称为有序二叉查找树，满足二叉查找树的一般性质，是指一棵空树具有如下性质：

1、任意节点左子树不为空,则左子树的值均小于根节点的值；

2、任意节点右子树不为空,则右子树的值均大于于根节点的值；

3、任意节点的左右子树也分别是二叉查找树；

4、没有键值相等的节点；

上图为一个普通的二叉查找树，按照中序遍历的方式可以从小到大的顺序排序输出：2、3、5、6、7、8。

对上述二叉树进行查找，如查键值为5的记录，先找到根，其键值是6，6大于5，因此查找6的左子树，找到3；而5大于3，再找其右子树；一共找了3次。如果按2、3、5、6、7、8的顺序来找同样需求3次。用同样的方法在查找键值为8的这个记录，这次用了3次查找，而顺序查找需要6次。计算平均查找次数得：顺序查找的平均查找次数为（1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.3次，二叉查找树的平均查找次数为（3+3+3+2+2+1）/6=2.3次。二叉查找树的平均查找速度比顺序查找来得更快。

1.2. 局限性及应用

一个二叉查找树是由n个节点随机构成，所以，对于某些情况，二叉查找树会退化成一个有n个节点的线性链。如下图：

大家看上图，如果我们的根节点选择是最小或者最大的数，那么二叉查找树就完全退化成了线性结构。上图中的平均查找次数为（1+2+3+4+5+5）/6=3.16次，和顺序查找差不多。显然这个二叉树的查询效率就很低，因此若想最大性能的构造一个二叉查找树，需要这个二叉树是平衡的（这里的平衡从一个显著的特点可以看出这一棵树的高度比上一个输的高度要大，在相同节点的情况下也就是不平衡），从而引出了一个新的定义-平衡二叉树AVL。

2. AVL树

2.1. AVL树简介

AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，一般是用平衡因子差值判断是否平衡并通过旋转来实现平衡，左右子树树高差不超过1，和红黑树相比，它是严格的平衡二叉树，平衡条件必须满足（所有节点的左右子树高度差不超过1）。不管我们是执行插入还是删除操作，只要不满足上面的条件，就要通过旋转来保持平衡。而旋转是非常耗时的，由此我们可以知道AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。

从上面是一个普通的平衡二叉树，这张图我们可以看出，任意节点的左右子树的平衡因子差值都不会大于1。

2.2. 局限性

由于维护这种高度平衡所付出的代价比从中获得的效率收益还大，故而实际的应用不多，更多的地方是用追求局部而不是非常严格整体平衡的红黑树。当然，如果应用场景中对插入删除不频繁，只是对查找要求较高，那么AVL还是较优于红黑树。

2.3. 应用

1、Windows NT内核中广泛存在；

3. 红黑树

3.1. 红黑树简介

一种二叉查找树，但在每个节点增加一个存储位表示节点的颜色，可以是red或black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色的方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其它路径长出两倍。它是一种弱平衡二叉树(由于是弱平衡，可以推出，相同的节点情况下，AVL树的高度低于红黑树)。相对于要求严格的AVL树来说，它的旋转次数变少，所以对于搜索、插入、删除操作多的情况下，我们就用红黑树。

3.2. 性质

1、每个节点非红即黑；

2、根节点是黑的； 3、每个叶节点(叶节点即树尾端NULL指针或NULL节点)都是黑的； 4、如果一个节点是红的,那么它的两儿子都是黑的； 5、对于任意节点而言，其到叶子点树NULL指针的每条路径都包含相同数目的黑节点； 6、每条路径都包含相同的黑节点；

3.3. 应用

1、广泛用于C++的STL中，Map和Set都是用红黑树实现的；

2、著名的Linux进程调度Completely Fair Scheduler，用红黑树管理进程控制块，进程的虚拟内存区域都存储在一颗红黑树上，每个虚拟地址区域都对应红黑树的一个节点，左指针指向相邻的地址虚拟存储区域，右指针指向相邻的高地址虚拟地址空间； 3、IO多路复用epoll的实现采用红黑树组织管理sockfd，以支持快速的增删改查； 4、Nginx中用红黑树管理timer，因为红黑树是有序的，可以很快的得到距离当前最小的定时器； 5、Java中TreeMap的实现；

4. B/B+树

说了上述的三种树：二叉查找树、AVL和红黑树，似乎我们还没有摸到MySQL为什么要使用B+树作为索引的实现，不要急，接下来我们就先探讨一下什么是B树。

4.1. B+树简介

我们在MySQL中的数据一般是放在磁盘中的，读取数据的时候肯定会有访问磁盘的操作，磁盘中有两个机械运动的部分，分别是盘片旋转和磁臂移动。盘片旋转就是我们市面上所提到的多少转每分钟，而磁盘移动则是在盘片旋转到指定位置以后，移动磁臂后开始进行数据的读写。那么这就存在一个定位到磁盘中的块的过程，而定位是磁盘的存取中花费时间比较大的一块，毕竟机械运动花费的时候要远远大于电子运动的时间。当大规模数据存储到磁盘中的时候，显然定位是一个非常花费时间的过程，但是我们可以通过B树进行优化，提高磁盘读取时定位的效率。

为什么B类树可以进行优化呢？我们可以根据B类树的特点，构造一个多阶的B类树，然后在尽量多的在结点上存储相关的信息，保证层数尽量的少，以便后面我们可以更快的找到信息，磁盘的I/O操作也少一些，而且B类树是平衡树，每个结点到叶子结点的高度都是相同，这也保证了每个查询是稳定的。

总的来说，B/B+树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种平衡多路查找树(相对于二叉，B树每个内节点有多个分支)，与红黑树相比，在相同的的节点的情况下，一颗B/B+树的高度远远小于红黑树的高度(在下面B/B+树的性能分析中会提到)。B/B+树上操作的时间通常由存取磁盘的时间和CPU计算时间这两部分构成，而CPU的速度非常快，所以B树的操作效率取决于访问磁盘的次数，关键字总数相同的情况下B树的高度越小，磁盘I/O所花的时间越少。

4.2. B树的性质

1、定义任意非叶子结点最多只有M个儿子，且M>2；

2、根结点的儿子数为[2, M]； 3、除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]； 4、每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字） 5、非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1； 6、非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]； 7、非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树； 8、所有叶子结点位于同一层；

这里只是一个简单的B树，在实际中B树节点中关键字很多的，上面的图中比如35节点，35代表一个key(索引)，而小黑块代表的是这个key所指向的内容在内存中实际的存储位置，是一个指针。

5. B+树

5.1. B+树简介

B+Tree是在B-Tree基础上的一种优化，使其更适合实现外存储索引结构，InnoDB存储引擎就是用B+Tree实现其索引结构。

从上一节中的B-Tree结构图中可以看到每个节点中不仅包含数据的key值，还有data值。而每一个页的存储空间是有限的，如果data数据较大时将会导致每个节点（即一个页）能存储的key的数量很小，当存储的数据量很大时同样会导致B-Tree的深度较大，增大查询时的磁盘I/O次数，进而影响查询效率。在B+Tree中，所有数据记录节点都是按照键值大小顺序存放在同一层的叶子节点上，而非叶子节点上只存储key值信息，这样可以大大加大每个节点存储的key值数量，降低B+Tree的高度。

5.2. B+树的性质

B+Tree相对于B-Tree有几点不同：

1、非叶子节点只存储键值信息。 2、所有叶子节点之间都有一个链指针。 3、数据记录都存放在叶子节点中。 4、更适合于文件系统；

将上一节中的B-Tree优化，由于B+Tree的非叶子节点只存储键值信息，假设每个磁盘块能存储4个键值及指针信息，则变成B+Tree后其结构如下图所示：

通常在B+Tree上有两个头指针，一个指向根节点，另一个指向关键字最小的叶子节点，而且所有叶子节点（即数据节点）之间是一种链式环结构。因此可以对B+Tree进行两种查找运算：一种是对于主键的范围查找和分页查找，另一种是从根节点开始，进行随机查找。

可能上面例子中只有22条数据记录，看不出B+Tree的优点，下面做一个推算：

InnoDB存储引擎中页的大小为16KB，一般表的主键类型为INT（占用4个字节）或BIGINT（占用8个字节），指针类型也一般为4或8个字节，也就是说一个页（B+Tree中的一个节点）中大概存储16KB/(8B+8B)=1K个键值（因为是估值，为方便计算，这里的K取值为〖10〗^3）。也就是说一个深度为3的B+Tree索引可以维护10^3 * 10^3 * 10^3 = 10亿 条记录。

实际情况中每个节点可能不能填充满，因此在数据库中，B+Tree的高度一般都在2~4层。mysql的InnoDB存储引擎在设计时是将根节点常驻内存的，也就是说查找某一键值的行记录时最多只需要1~3次磁盘I/O操作。

数据库中的B+Tree索引可以分为聚集索引（clustered index）和辅助索引（secondary index）。上面的B+Tree示例图在数据库中的实现即为聚集索引，聚集索引的B+Tree中的叶子节点存放的是整张表的行记录数据。辅助索引与聚集索引的区别在于辅助索引的叶子节点并不包含行记录的全部数据，而是存储相应行数据的聚集索引键，即主键。当通过辅助索引来查询数据时，InnoDB存储引擎会遍历辅助索引找到主键，然后再通过主键在聚集索引中找到完整的行记录数据。

5.3. 应用

1、B和B+树主要用在文件系统以及数据库做索引，比如MySQL；

6. B/B+树性能分析

n个节点的平衡二叉树的高度为H(即logn)，而n个节点的B/B+树的高度为logt((n+1)/2)+1；

若要作为内存中的查找表，B树却不一定比平衡二叉树好，尤其当m较大时更是如此。因为查找操作CPU的时间在B-树上是O(mlogtn)=O(lgn(m/lgt))，而m/lgt>1；所以m较大时O(mlogtn)比平衡二叉树的操作时间大得多。因此在内存中使用B树必须取较小的m。（通常取最小值m=3，此时B-树中每个内部结点可以有2或3个孩子，这种3阶的B-树称为2-3树）。

7. 为什么说B+树比B树更适合数据库索引？

1、 B+树的磁盘读写代价更低：B+树的内部节点并没有指向关键字具体信息的指针，因此其内部节点相对B树更小，如果把所有同一内部节点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多，一次性读入内存的需要查找的关键字也就越多，相对IO读写次数就降低了。

2、B+树的查询效率更加稳定：由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

3、由于B+树的数据都存储在叶子结点中，分支结点均为索引，方便扫库，只需要扫一遍叶子结点即可，但是B树因为其分支结点同样存储着数据，我们要找到具体的数据，需要进行一次中序遍历按序来扫，所以B+树更加适合在区间查询的情况，所以通常B+树用于数据库索引。

PS：我在知乎上看到有人是这样说的,我感觉说的也挺有道理的：

他们认为数据库索引采用B+树的主要原因是：B树在提高了IO性能的同时并没有解决元素遍历效率低下的问题，正是为了解决这个问题，B+树应用而生。B+树只需要去遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作或者说效率太低。

原文：

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