教程：RICE大学在edx上的相关课程“

1. 离散时间信号与系统

信号是可以探测到的物理量，并且其中携带了信息。 Signal (n): A detectable physical quantity ...by which messages or information can be transmitted (Merriam-Webster)

信号处理系统是对信号中携带的信息进行处理。例如滤波，编码，通信...

信号是函数，其中自变量是独立的变量，而因变量之间往往是相关的。在信号x[n]中，每个独立变量n产生一个值x[n]，而x[n]之间是不独立的（例如语音，同一段话的语音的波形是相似的）。离散时间信号中的n是整数（大多数情况是时间），而x[n]一般是实数或者复数。

在刻画信号时使用离散的点，横轴是离散的，纵轴是实数。现实中的信号看上去更加复杂一点，但本质相同。

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在matlab中使用stem命令，而不是plot，plot画的是连续的图。

复数信号的写法有两种：极坐标和直角坐标。 工程上用j表示复数轴，而数学中用i表示复数。复数信号的表示中，实数常常表示

直角坐标系中，信号拆分成两部分。

在极坐标表示中，复数信号也拆分成幅值和角度。

总结：信号中的独立变量n是整数，表示时间；信号中的非独立变量x[n]是实数或复数。

2.信号的性质

学习内容：有限、无限信号；周期信号；因果信号；奇、偶信号；数字信号

有限、无限信号表示的是信号的长度n的范围。

注意：有限信号指的是在信号两端没有定义，不是0也不是别的，而是没定义。

周期信号，非周期信号叫做aperiodic。

有限信号与无限信号之间的转换：通过在无限信号中的某段上加窗口将无限信号转化为有限信号.将有限信号进行0填充或者周期化变为无限信号。

周期化，就是将信号按照周期N进行连续的平移，是信号在整个轴上补充完整。

模运算与周期信号息息相关。进行N的模运算就像使用一个含有N个小时的手表。

例如画一个以含有8小时的表。那么4 mod 8的结果就是从0开始转4下，结果为4；12 mod 8的结果就是从0开始转12下，结果还是4（转了完整的一周又走到4）。-4 mod 8的结果是负方向转4下，以此类推可以得到任意数mod8的结果。模运算与生俱来就是周期性的。

2.5.通过模运算对信号进行周期化。

 一个长度为N的信号x[n]，通过模运算可以十分方便的表示该信号的周期化。

下面的左图为有限信号，右图为该信号的周期化（无限信号）。无限信号的时间轴是无限长的直线，周期信号是一个含有N（周期长度）的圆环。

 有限信号和周期信号含有的信息是相同的。

因果信号（Causal Signals）：信号中n小于0时的信号值为0。

基数、偶数信号与奇函数偶函数定义相同。

任何信号都可以由奇信号和偶信号共同组成。

奇数和偶数信号部分，从组成上看，偶数部分抵消了奇数的信号，而基数信号抵消了偶数的信号，所以每个信号都是只含有奇数和偶数的。

数字信号时离散时域信号的子集。数字信号的特点是bit与信号值联系到了一起，这个是数字系统的基础啊。

总结：

信号可以使用不同方法归类：实数，复数，有限，无限，周期，非周期，因果，非因果，奇数，偶数...。有限信号和周期信号涵盖的信息相等；模运算非常有用。

3.信号移位

原则是左加右减， 移位指的的是信号值x[n]位置的平行移动。

仍然是左加右减，圆环的正向为左。注意周期信号的表达方式。

有限信号在移位的时候，出现定义域和值域不存在的问题，解决办法就是进行循环移位（跟周期信号很像）。

就是将有限信号首位相连，构成一个圆环，这样无路如何移位，都没有问题。

总结：

信号的移位是指在时间轴上将信号进行移动。模运算提供了一个简单的进行周期信号移位的方式。 

4. Test signals

需要了解：Delta function，Unit step，Real exponetial，sinusoids，complex exponentials。这些信号作为无限信号进行介绍，但是每个信号也有一个有限长度的信号与其相等。

此处需要注意，m是个常数。x[n]delta[n-m]代表两个信号相乘，而x[m]delta[n-m]代表一个信号与一个数相乘。

5.正弦函数

正弦函数(包括我们常说的正弦，余弦)出现在无数的学科当中，特别是信号处理；他们是离散傅里叶变换和离散时域傅里叶变换的基础。学习目标：实数正弦函数，复数正弦函数，复数指数函数

由频率omega和相位决定的函数。频率单位是每个样本点转过的弧度，相位的单位就是弧度。余弦函数时偶函数，正弦函数是奇函数，前面我们曾经推出结论，任何信号都可以由偶函数和奇函数组成！！！

复数正弦函数：根据欧拉公式得到复数包含了正弦部分（复数）和余弦部分（实数）。

复数正弦是在Z轴上的螺旋线，包含两种变化，频率的正负决定了螺旋线的旋转方向。

复数正弦中的负数频率并不可怕，仅仅是复数轴的sin函数的正负发生了变化，而cos函数完全相同。

相位的变化比较有趣，相位的移动与频率无关，也就是说并不是在频率轴中进行整数移动（每次都移动到整数nw的位置）。而是跟周期2pi有关系，例如pi/4，就是移动1/8个周期，此时采样频率没有变化，所以函数值为1的点（在第一个函数中）采样不到了。

总结：

正弦函数再理论和应用中都很重要，包含频率和相位两个部分。

复数正弦函数是一个三维的螺旋，代表了正弦和余弦。其中频率为负数不用害怕，仅仅是螺旋线反向旋转而已。

6.离散时域正弦线函数非常奇怪

离散时域正弦函数有两个特别奇怪的地方，他们都和频率omega有关系：一个是混叠;另一个是反周期。

两个频率不同的离散时域正弦信号的图像完全相同，这就叫做混叠。

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只有omega在2pi之内，才不会出现混叠。一般使用两个定义域：[0,2pi],[-pi,pi]

谐波正弦信号。

实验：

随着k的增加，角频率w不断增加，但是我们发现信号并不是随着角频率的增加而频率变得越来越快。

而k=4时，信号的周期最短，离散正弦信号的频率转换最快。

信号的实数部分：k=1和k=7两个信号一模一样（发生混叠）。

信号的虚数部分：k=1和k=7两个信号是完全相反的关系（相当于sin（-wn）=-sin（wn）），因为k=7时，w=7*pi/4，相当于-1*pi/4, 与k=1相反。

将信号以图像的形式表示出来，这个也叫做DFT DFT DFT.两个特点：

k=1和k=7（等等）时，信号的实数部分完全相同，而虚数部分完全相反。

实数部分和虚数部分都是沿着主对角线对称。

总结：

只有谐波正弦频率的信号才是具有周期的离散正弦信号。

信号长度N决定了k的取值范围，例如N=8决定了0-7的范围，从而确定了DFT的频率个数，同时N也决定了DFT后的信号长度。

最图像上可以看出更明显的区别DFT后的信号有很强的规律。

前面涉及到的复数（离散时域正余弦函数）的复数中，指数部分是个纯虚数，也就是说都是模长为1的复数。

那么，更一般化的复数是什么样子呢？其中，z的模长不仅仅是1.

  复指数实际上是一个螺旋，其中omega决定了螺旋旋转的速度，而z决定了螺旋的半径大小。所以，一般情况下就是一个随着时间不断变大或者变小的螺旋。

 从平面上看，就是信号的幅值不断变大或者变小的情况。

 总结: