题目大意

对一棵树的节点染色。初始时每个点都染成颜色 $0$，然后进行 $m$ 轮操作。第 $i$ 轮操作：从 $[0,d_i]$ 中随机选出一个整数 $d$，将距离点 $x_i$ 不超过 $d$ 的点染成颜色 $i$。求最后「同色连通块」的个数的期望。

分析

期望问题的做法一般是

利用期望的线性性将所求的随机变量分解

问题的难点正在于写出同色的连通块的个数的表达式。

同色连通块的个数 = 两端点颜色不同的边的数目 + 1

令 $p^{i}[u][v] (u<v)$ 表示第 $i$ 轮操作后边 $(u,v)$ 两端颜色不同的概率, $\text{dis}^{i}[u]$ 表示 $x_i$ 与 $u$ 的距离。

Implementation

#include 
    
     using namespace std;const int N=2e3+5;double dp[N][N];vector
     
       g[N];int x, d;void dfs(int u, int fa, int dis){    if(dis>d) return;    for(auto v: g[u])        if(v!=fa){            int _u=min(u, v), _v=max(u, v);            dp[_u][_v]=(dp[_u][_v]*dis+1)/(d+1);            dfs(v, u, dis+1);        }}int main(){    int n, m;    cin >> n >> m;    for(int i=1; i
      
       > u >> v;        g[u].push_back(v);        g[v].push_back(u);    }    for(int i=0; i
       
        > x >> d;        dfs(x, x, 0);    }    double res=0;    for(int i=1; i<=n; i++)        for(int j=i+1; j<=n; j++)            res+=dp[i][j];    // cout << res+1 << '\n';    printf("%.10f\n", res+1);    return 0;}
       
      
     
    

Reference