搜索算法按搜索的方式分有两类，一类是深度优先搜索，一类是广度优先搜索。我们知道，深度搜索编程简单，程序简洁易懂，空间需求也比较低，但是这种方法的 时间复杂度往往是指数级的，倘若不加优化，其时间效率简直无法忍受；而广度优先搜索虽然时间复杂度比前者低一些，但其庞大的空间需求量又往往让人望而却步。 所以，对程序进行优化，就成为搜索算法编程中最关键的一环。本文所要讨论的便是搜索算法中优化程序的一种基本方法叫“剪枝”。 一、what is it?       搜索的进程可以看作是从树根出发，遍历一棵倒置的树——搜索树的过程。而所谓剪枝，顾名思义，就是通过某种判断，避免一些不必要的遍历过程，形象的说，就是剪去了搜索树中的某些“枝条”，故称剪枝。应用剪枝优化的核心问题是设计剪枝判断方法，即确定哪些枝条应当舍弃，哪些枝条应当保留的方法。 二、剪枝的原则 原则之一：正确性。    因为它能够“剪去”搜索树中的一些“枝条”。然而，如果在剪枝的时候，将“长有”我们所需要的解的枝条也剪掉了，那么，一切优化也就都失去了意义。所以，对剪枝的第一个要求就是正确性，即必须保证不丢失正确的结果，这是剪枝优化的前提。我们利用“必要条件”来进行剪枝判断。也就是说，通过解所必须具备的特征、必须满足的条件等方面来考察待判断的枝条能否被剪枝。这样，就可以保证所剪掉的枝条一定不是正解所在的枝条。 原则之二：准确性。 即能够尽可能多的剪去不能通向正解的枝条。准确性可以说是剪枝优化的生命。 原则之三：高效性。 经常还需要提高判断操作本身的时间效率。 综上所述，我们可以把剪枝优化的主要原则归结为六个字：正确、准确、高效。 我们可以把常用的剪枝判断大致分成以下两类： 可行性剪枝。 最优性剪枝（上下界剪枝）。 三、可行性剪枝 搜索过程可以看作是对一棵树的遍历。在很多情况下，并不是搜索树中的所有枝条都能通向我们需要的结果，很多的枝条实际上只是一些死胡同。如果我们能够在刚刚进入这样的死胡同的时候，就能够判断出来并立即剪枝，程序的效率往往会得到提高。而所谓可行性剪枝，正是基于这样一种考虑。 下面我们举一个例子——Betsy的旅行(USACO)。 题目简述：一个正方形的小镇被分成N的平方个小方格，Betsy要从左上角的方格到达左下角的方格，并且经过每个方格恰好一次。编程对于给定的N，计算出Betsy能采用的所有的旅行路线的数目。 我们用深度优先的回溯方法来解决这个问题：Betsy从左上角出发，每一步可以从一个格子移动到相邻的没有到过的格子中，遇到死胡同则回溯，当移动了N2-1步并达到左下角时，即得到了一条新的路径，继续回溯搜索，直至遍历完所有道路。 但是，仅仅依照上述算法框架编程，时间效率极低，对N=6的情况无法很好的解决，所以，优化势在必行。对本题优化的关键就在于当搜索到某一个步骤时，能够提前判断出在后面的搜索过程中是否一定会遇到死胡同，而可行性剪枝正可以在这里派上用场。 我们首先从“必要条件”，即合法的解所应当具备的特征的角度分析剪枝的方法，主要有两个方向：对于一条合法的路径，除出发点和目标格子外，每一个中间格子都必然有“一进一出”的过程。所以在搜索过程中，必须保证每个尚未经过的可格子都与至少两个尚未经过的格子相邻（除非当时Betsy就在它旁边）。这里，我们是从微观的角度分析问题。 在第一个条件的基础上，我们还可以从宏观的角度分析，进一步提高剪枝判断的准确性。显然，在一个合法的移动方案的任何时刻，都不可能有孤立的区域存在。虽然孤立区域中的每一个格子也可能都有至少两个相邻的空的格子，但它们作为一个整体，Betsy已经不能达到。我们也应当及时判断出这种情况，并避免之。 以上两个剪枝判断条件都是正确的，其准确度也比较高。但是，仅仅满足这两点还不够，剪枝判断的操作过程还必须力求高效。假如我们在每次剪枝判断时，都简单的对N2个格子进行一遍扫描，其效率的低下可想而知。因此，我们必须尽可能的简化判断的过程。 实际上，由于Betsy的每一次移动，只会影响到附近的格子，所以每次执行剪枝判断时，应当只对她附近的格子进行检查：对于第一个剪枝条件，我们可以设一个整型标志数组，分别保存与每个格子相邻的没被经过的格子的数目，Betsy每次移动到一个新位置，都只会使与之相邻的至多4个格子的标志值发生变化，只要检查它们的标志值即可。而对于第二个剪枝条件，处理就稍稍麻烦一些。但我们仍然可以使用局部分析的方法，即只通过对Betsy附近的格子进行判断，就确定是否应当剪枝，下图简要说明了剪枝的原理：

上图给出了可以剪枝的三种情况。由于Betsy到过的所有格子都一定是四连通的，所以每种情况下的两个白色的格子之间必定是不连通的，它们当中必然至少有一个是属于某个孤立区域的，都一定可以剪枝。 经过上述的优化，程序的时间效率有了很大的提高        在应用可行性剪枝的时候，首先要多角度全面分析问题的特点（本题就是从微观和宏观两个角度设计剪枝方法），找到尽可能多的可以剪枝的情况；同时，还必须注意提高剪枝的时间效率，所以我们使用了“局部判断”的方法，特别是在处理第二个剪枝条件时，更是通过局部判断来体现整体性质（是否有孤立区域），这一技巧不仅在设计剪枝方法的时候能够发挥作用，在其他方面也有着极为广泛的应用。 四 、最优性剪枝        在我们平时遇到的问题中，有一大类是所谓最优化问题，即所要求的结果是最优解。如果我们使用搜索方法来解决这类问题，那么，最优性剪枝是一定要考虑到的。       首先要作一些说明：我们知道，解的优劣一般是通过一个评价函数来评判的。这里定义一个抽象的评价函数——“优度”，它的值越大，对应的解也就越优（对于具体的问题，我们可以认为“优度”代表正的收益或负的代价等）。 然后，我们再来回顾一下搜索最优解的过程：一般情况下，我们需要保存一个“当前最优解”，实际上就是保存解的优度的一个下界。在遍历到搜索树的叶子节点的时候，我们就能得到一个新的解，当然也就得到了它的评价函数值，与保存的优度的下界作比较，如果新解的优度值更大，则这个优度值就成为新的下界。搜索结束后，所保存的解就是最优解。 那么，最优性剪枝又是如何进行的呢？当我们处在搜索树的枝条上时，可以通过某种方法估算出该枝条上的所有解的评价函数的上界，即所谓估价函数。显然，大于当前保存的优度的下界，是该枝条上存在最优解的必要条件，否则就一定可以剪枝。所以，最优性剪枝也可以称为“上下界剪枝”。同时，我们也可以看到，最优性剪枝的核心问题就是估价函数的建立。