Prim算法 1.概览 普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。   2.算法简单描述 1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E； 2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空； 3).重复下列操作，直到Vnew = V： a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）； b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中； 4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。   下面对算法的图例描述 图例    说明    不可选    可选    已选（Vnew）       此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。     -     -     -     顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。     C, G     A, B, E, F     D       下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。     C, G     B, E, F     A, D     算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。     C     B, E, G     A, D, F       在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。     无     C, E, G     A, D, F, B       这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。     无     C, G     A, D, F, B, E     顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。     无     G     A, D, F, B, E, C     现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。     无     无     A, D, F, B, E, C, G   3.简单证明prim算法 反证法：假设prim生成的不是最小生成树 1).设prim生成的树为G0 2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0 3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin) 4).这与prim每次生成最短边矛盾 5).故假设不成立，命题得证.      4.算法代码实现(未检验) 复制代码 #define MAX  100000 #define VNUM  10+1                                             //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10 int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/}; int lowcost[VNUM]={0};                                         //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边 int addvnew[VNUM];                                             //标记某点是否加入Vnew int adjecent[VNUM]={0};                                        //记录V中与Vnew最邻近的点 void prim(int start) {      int sumweight=0;      int i,j,k=0;      for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //顶点是从1开始      {         lowcost[i]=edge[start][i];         addvnew[i]=-1;                                         //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外      }      addvnew[start]=0;                                        //将起始点start加入Vnew      adjecent[start]=start;                                                        for(i=1;i<VNUM-1;i++)                                              {         int min=MAX;         int v=-1;         for(j=1;j<VNUM;j++)                                               {             if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew之外寻找最短路径             {                 min=lowcost[j];                 v=j;             }         }         if(v!=-1)         {             printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);             addvnew[v]=0;                                      //将v加Vnew中             sumweight+=lowcost[v];                             //计算路径长度之和             for(j=1;j<VNUM;j++)             {                 if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])                       {                     lowcost[j]=edge[v][j];                     //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost                     adjecent[j]=v;                                              }             }         }     }     printf("the minmum weight is %d",sumweight); } 复制代码   5.时间复杂度 这里记顶点数v，边数e 邻接矩阵:O(v2)                 邻接表:O(elog2v)       Kruskal算法   1.概览 Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。   2.算法简单描述 1).记Graph中有v个顶点，e个边 2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边 3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序 4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中                 if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中                                          添加这条边到图Graphnew中   图例描述： 首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边   将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图       在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5 依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。 下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。 最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：       3.简单证明Kruskal算法 对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。 归纳基础： n=1，显然能够找到最小生成树。 归纳过程： 假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。 我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。 用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。 由数学归纳法，Kruskal算法得证。       4.代码算法实现 复制代码 typedef struct           {             char vertex[VertexNum];                                //顶点表              int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表              int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数          }MGraph;   typedef struct node   {       int u;                                                 //边的起始顶点        int v;                                                 //边的终止顶点        int w;                                                 //边的权值    }Edge; void kruskal(MGraph G)   {       int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;       int vset[VertexNum];                                    //辅助数组，判定两个顶点是否连通        int E[EdgeNum];                                         //存放所有的边        k=0;                                                    //E数组的下标从0开始        for (i=0;i<G.n;i++)       {           for (j=0;j<G.n;j++)           {               if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)               {                   E[k].u=i;                   E[k].v=j;                   E[k].w=G.edges[i][j];                   k++;               }           }       }          heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按权值从小到大排列            for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组        {           vset[i]=i;       }       k=1;                                                   //生成的边数，最后要刚好为总边数        j=0;                                                   //E中的下标        while (k<G.n)       {            sn1=vset[E[j].u];           sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号            if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树            {             printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);                    k++;               for (i=0;i<G.n;i++)               {                   if (vset[i]==sn2)                   {                       vset[i]=sn1;                   }               }                      }           j++;       }   }   时间复杂度：elog2e  e为图中的边数