在说透视投影矩阵之前，先简单说下在3D世界中的一个物体的位置是如何定义的。

模型空间，局部坐标

一个物体，最开始是通过3D建模渲染软件比如3DMax制作出来的，因为一开始只是一个单独的模型，所以它开始会拥有一个局部坐标，来标识整个模型的位置。那么既然是单独的物体，为什么还要有局部坐标呢？是因为模型在这个坐标中，并不一定以模型的中心为坐标原点，而是以模型的特征来选择坐标的原点。比如一个人，会把它的脚放到局部坐标原点上。这样在后续往世界空间中放的时候就以这个点为基础做转换。

世界空间，世界坐标

模型是要在放到一个场景中展示的，这个场景就是处在世界空间中。所有物体的位置，都是以世界空间的坐标系定义的。

模型从模型空间到世界空间，就需要指定一个转换矩阵（这个矩阵可能包括旋转，缩放和平移），这个矩阵就叫做模型矩阵（Model Matrix）。

视图空间（View Space），摄像机空间

世界空间最后要展示到Camera中，需要做一次世界空间坐标向视图空间的转换。这个矩阵就是视图矩阵（View Matrix）。

为什么模型一开始不转换到视图空间中，而要在中间插入一个世界空间呢？

这么做的目的就是可以让设计者可以只关心整个世界的构造，而不用关心摄像机的位置。

透视投影

我们绘制的一切东西，最后都要展示到一个二维屏幕上。而且这个二维空间中物体呈现的效果是带有透视效果的，简单说是近大远小的效果。详细参考[1].

那在转换为二维屏幕坐标前，透视投影矩阵会将平截头体转换为一种单元立方体，它的的中心在坐标原点，上下左右的边界从-1到1。这就是CVV（canonical view volume），规则观察体。里面的坐标称为NDC，标准设备坐标。有了这个坐标，就不需要考虑具体设备分辨率的影响，之后的一系列操作就基于标准的坐标系。最后再经过视口转换，将-1到1之间的点转换为真正的设备分辨率的点坐标。

转换为CVV的一个重要作用就是可以高效剪裁。

最后将CVV映射到屏幕坐标系。

透视投影矩阵 Perspective Projection Matrix

PPM需要四个参数确定：

1）屏幕的高宽比 ar

2）相机的垂直视角大小 Fov

3）近剪裁面位置

4)  远剪裁面位置

这几个参数其实就是View Space中的的参数。透视投影就是将平截头体中的点，投影到CVV。

具体的推导过程可以参考：

其中有几个关键点:

1) 公式的推导主要借助了中，相似三角形的对应边成比例。推导出了由摄像机处发出的穿过点P的射线，在投影平面和点P所在的xy平面之间形成的线段，与z轴与这两个平面之间形成的线段的比例关系。

2）为了保留z坐标在深度测试中的使用，z坐标要保留到w中。

3）z坐标在CVV中的范围是-1到1，所以通过变换近平面的z坐标转换到-1，远平面的z坐标转换到1，通过这两个方程，就可以确定PPM的第三行的值。

 Reference：

[1]