本文共 5766 字,大约阅读时间需要 19 分钟。
转自:http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html
Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)
2.算法描述
1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤:
a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
3 代码:
const int MAXINT = 32767;const int MAXNUM = 10;int dist[MAXNUM];int prev[MAXNUM];int A[MAXUNM][MAXNUM];void Dijkstra(int v0){ bool S[MAXNUM]; // 判断是否已存入该点到S集合中 int n=MAXNUM; for(int i=1; i<=n; ++i) { dist[i] = A[v0][i]; S[i] = false; // 初始都未用过该点 if(dist[i] == MAXINT) prev[i] = -1; else prev[i] = v0; } dist[v0] = 0; S[v0] = true; for(int i=2; i<=n; i++) { int mindist = MAXINT; int u = v0; // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值 for(int j=1; j<=n; ++j) if((!S[j]) && dist[j]
另一个实例,给出n个点,以及他们坐标,再给出一个m,表示m对之间有关系,接下来m行输入,求最短路径,给出起点到终点,求最短路径。
代码:
#include#include #include #include #include #include using namespace std;int a[101][3];double c[101];bool b[101];double f[101][101];int n,i,j,k,m,x,y,s,e;double minl;double maxx=1e30;int main(){ cin>>n; for(i=1;i<=n;i++)cin>>a[i][1]>>a[i][2]; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) f[i][j]=maxx;//f数组初始化为最大值 cin>>m; for(i=1;i<=m;i++)//预处理xy间距离f[x][y] { cin>>x>>y; f[x][y]=f[y][x]=sqrt(pow(double(a[x][1]-a[y][1]),2)+pow(double(a[x][2]-a[y][2]),2)); } cin>>s>>e; for(i=1;i<=n;i++)c[i]=f[s][i]; memset(b,0,sizeof(b));//dijkstra最短路 b[s]=1; c[s]=0; for(i=1;i<=n-1;i++)//查找可以更新的点 { minl=maxx;k=0; for(j=1;j<=n;j++) if(!b[j]&&c[j] c[k]+f[k][j])c[j]=c[k]+f[k][j]; } cout< < < <
4.算法实例
先给出一个无向图
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
Floyd算法
1.定义概览
Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3),空间复杂度为O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理:
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在)
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述:
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。
b.对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法
方法:两条线,从左上角开始计算一直到右下角 如下所示
给出矩阵,其中矩阵A是邻接矩阵,而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点
相应计算方法如下:
最后A3即为所求结果
3.算法代码实现
typedef struct { char vertex[VertexNum]; //顶点表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表 int n,e; //图中当前的顶点数和边数 }MGraph; void Floyd(MGraph g){ int A[MAXV][MAXV]; int path[MAXV][MAXV]; int i,j,k,n=g.n; for(i=0;i(A[i][k]+A[k][j])) { A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; path[i][j]=k; } } }
算法时间复杂度:O(n3)
3 Bellman-Ford算法(复杂度:NE) 注意,不能有负权回路,否则无限循环,到达无穷小。
代码:
#include#include #include #include using namespace std;int main(){ double a[103][3],dis[1001],w[1001]; int n,m,x,y,f[1001][3],s,t,i,j; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i][1],&a[i][2]); scanf("%d",&m); for(i=1;i<=m;i++){ dis[i]=0x7f; f[i][1]=f[i][2]=0x7f; } for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%d%d",&x,&y); f[i][1]=x,f[i][2]=y; w[i]=sqrt(pow(a[x][1]-a[y][1],2)+pow(a[x][2]-a[y][2],2)); } cin>>s>>t; dis[s]=0; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) { if(dis[f[j][1]]+w[j]
4 SPFA算法
代码示例:
#include#include #include using namespace std;int n,p,c,i,j,x,y,t,minl,head,tail,tot,u;int a[801][801],b[501],dis[801],num[801],w[801][801],team[1601];bool exist[801];int main(){ cin>>n>>p>>c; for(i=1;i<=p;i++){ b[i]=0;num[i]=0; for(j=1;j<=p;j++) w[i][j]=0x7f;//距离 } for(i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];//牛所在的牧场号 for(i=1;i<=c;i++){ //邻接矩阵存储 cin>>x>>y>>t; w[x][y]=w[y][x]=t; a[x][++num[x]]=y,a[y][++num[y]]=x; } minl=0x7f; for(i=1;i<=p;i++){ for(j=1;j<=p;j++)dis[j]=0x7f; memset(team,0,sizeof(team));//队列数组初始化 memset(exist,0,sizeof(exist));//exist标志初始化 dis[i]=0;team[1]=i;head=0;tail=1;exist[i]=1;//起始点入队 do{ head++; head=((head-1)%1601)+1;//循环队列的处理 u=team[head]; exist[u]=0; for(j=1;j<=num[u];j++){ if(dis[a[u][j]]>dis[u]+w[u][a[u][j]]){ dis[a[u][j]]=dis[u]+w[u][a[u][j]]; if(!exist[a[u][j]]){tail++;tail=((tail-1)%1601)+1;team[tail]=a[u][j];exist[a[u][j]]=1;} } } }while(head!=tail); tot=0; for(j=1;j<=n;j++)tot+=dis[b[j]]; if(tot
转载地址:https://blog.csdn.net/sinat_37668729/article/details/76836819 如侵犯您的版权,请留言回复原文章的地址,我们会给您删除此文章,给您带来不便请您谅解!