消元法是解方程组的有效方法，但不是所有方程组使用消元法都有效。

矩阵消元的核心概念是“矩阵变换”。

例1.

对应3x3矩阵：

如何消元？

目标是消去方程2种的

,方程1乘以多少后，用方程2减去？显然答案是3。

那么，等式左侧消元后，右侧如何变换？这里先只为右侧流出个位置，继续看左侧。

消去后，需要将方程3中

也消去，不过它已经是0了，不再重复。

现在方程组中只剩下

和

，重复如上步骤，继续递归消元。

用方程2乘以2，用方程3减去：

这里的1、2、5，我们称为主元，主元不能为0。当第一方程主元为0时，我们需要交换行。

若将主元5，改为4，方程将注定无解。

下面将进行“回代”，即：把右侧向量代入。这里增加了新列，我们称为增广矩阵。

在左侧进行消元时，右侧也会进行消元。

最终，将矩阵转换回方程：

解得：

，

，

例2.消元矩阵

对例1矩阵进行变换操作：

step1：

什么样的矩阵，乘以例1中消元

的矩阵，能够得到消元后的结果？

再此之前，先考虑什么样的矩阵乘以一个矩阵，结果还是原矩阵：

这样的矩阵，我们称为单位矩阵。

那么，由此可以看出，等式一种第一行与第三行结果没有改变，则公式变为：

再考虑矩阵1中a、b、c如何求：

矩阵1第二行乘以矩阵2第一列的和=

即：

，

，

求得：

step2：

有公式可看出，第一行与第二行没有变化，则：

最终求得：

定律一：

置换矩阵：