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1.2 树和二叉树

树：

1、树定义：是n（>=0）个结点的有限集合，n=0时称为空树。

任一非空树的特点：

有且仅有一个称为根的结点；

其余的结点可分为m（m>=0）个互不相交的子集T1,T2,...,Tm,其中每个子集本身又是一棵树，并称为根结点的子树。

2、其他基本概念：

• 双亲和孩子
• 兄弟：具有相同双亲的结点互为兄弟。
• 结点的度：一个结点的子树的个数记为该结点的度。
• 树的度：树中各结点的度的最大值。
• 叶子结点：也称为终端结点，指度为零的结点。
• 内部结点：度不为零的结点称为分支结点或非终端结点。除根结点外，分支结点也称为内部结点。
• 结点的层次：根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
• 树的高度：一棵树的最大层次数记为树的高度（或深度）。
• 有序（无序）树：若将树中的结点的各子树看成是从左到右具有次序的，即不能交换，则称该树为有序树，否则称为无序树。
• 森林：是m（m>=0）棵互不相交的树的集合。

3、树的存储结构：（了解）

• 标准存储结构：结点的数据，指向子结点的指针
• 带逆存储结构：结点的数据，指向子结点的指针，指向其父结点的指针

4、树的遍历

遍历是指对树中所有结点信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次。

ps：树没有中序遍历。二叉树才有。

• 前序遍历（先根遍历）：从根节点开始，从左向右依次访问子树（递归的定义）
• 后序遍历（后根遍历）
• 层次遍历：从上到下，从左到右依次访问

二叉树（非常重要）

1、定义：二叉树（BinaryTree）是n（n>=0）个结点的有限集合，它或者是空树（n=0），或者是一个根结点及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树所组成。

二叉树与树的区别：

• 二叉树的结点的最大度为2，而树不限制结点的度。
• 二叉树的结点的子树要区分左子树和右子树

2、二叉树的性质（记住，非常重要）

 若2i>n，则结点i无左孩子，否则其左孩子为2i。

若深度为k的二叉树有2的k次方个结点，则称其为满二叉树。

深度为k、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

• 二叉树第i层上的结点数目最多为2的（i-1）(i>=1)
• 深度为k的二叉树至多有2的k次方-1个结点（k>=1）
• 在任意一棵二叉树中，若终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
• 具有n个结点的玩去二叉树的深度为log以2为底n的下限+1 
• 对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层次自左至右进行编号，则对任一结点i有：
  若i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲，若i>1，则其双亲为i/2取下限。

3、二叉树的存储结构

1. 顺序存储结构
   对完全二叉树既简单又节省空间，而对于一般二叉树则不适用。
2. 链式存储结构
   由于二叉树中结点包含有数据元素、左子树根、右子树根及双亲等信息，因此可以用三叉链表或二叉链表来存储二叉树。链表的头指针指向二叉树的根节点。

4、二叉树的遍历（必须掌握，自己能写出二叉树的各个遍历）

• 前序遍历（先根，根结点，从左到右）
• 后序遍历（先根节点，再根，从左到右）
• 中序遍历（也叫中根遍历）（先左子树（左根节点-根，右根节点），再根，再右子树）​​​​​

5、二叉排序树

又称为二叉查找树，定义：或者是一棵空树，或者具有下列性质的二叉树：

• 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值；
• 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于他的根节点的值；
• 左右子树也分别俄日二叉排序树。

6、平衡二叉树

又被称为AVL树，具有以下的性质：

它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

7、线索树

n个结点的二叉树链表中含有n+1个（2n-(n-1)=n+1）个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向结点在某种遍历次序下的前趋和后继结点的指针（这种附近的指针称为“线索”）。

8、最优二叉树

给定n个权值作为n的叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈弗曼树（Huffman tree）。哈弗曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。（用处：城市安排管道）

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