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题目难度: 简单

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题目描述

在一个 n * m 的二维数组中，每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。请完成一个函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否含有该整数。

0 <= n <= 1000

0 <= m <= 1000

题目样例

示例

现有矩阵 matrix 如下：

[  [1,   4,  7, 11, 15],  [2,   5,  8, 12, 19],  [3,   6,  9, 16, 22],  [10, 13, 14, 17, 24],  [18, 21, 23, 26, 30]]

• 给定 target = 5，返回 true。

• 给定 target = 20，返回 false。

题目思考

1. 如何充分利用两个递增条件?

解决方案

思路

分析

• 相信大家都不难想出暴力遍历所有数字和二分查找每行的方法, 前者时间复杂度为 O(RC), 后者有所优化, 达到了 O(RlogC). (R 和 C 分别代表行和列的数目)
• 当然, 对于二分查找, 我们还可以稍作优化. 因为行和列都是递增, 所以二分查找既可以横向查找, 也可以纵向查找, 具体选哪种就看行数还是列数更多: 行数多的话就纵向查找, 否则横向查找. 这样就充分利用了二分查找对数复杂度的特性, 减小较大项对速度的影响, 使得复杂度降低为O(min(R,C)*log(max(R,C)))
• 但到这里大部分面试官可能都还不满意, 会追问有没有更优的方案. 因为即使是上面的二分查找, 也只用到了行或列递增的单一条件, 没有把两个递增条件同时用上, 我们如何同时用上这两个条件呢?

推导

• 回顾两个递增性质, 假设当前我们遍历到的下标为(r,c), 那么它和 target 的关系可以分为下面三种情况:
  • 值等于 target, 直接返回 true 即可
  • 值小于 target, 那么以该点为右下角的左上矩形中的所有值都必然小于 target, 可以安全被排除, 而其余部分则说不好
  • 值大于 target, 正好与上面相反, 以该点为左上角端点的右下矩形都可以被排除
• 重点关注上面的两个排除关系, 我们如果可以从某个起点开始, 一次排除一片区域, 然后朝一个方向继续线性遍历, 这样很快就能排查完整个矩阵
• 而为了满足线性遍历的条件, 起点的可选值只能是左下角或者右上角, 这里可以用反证法证明: 假设我们从矩阵左上角或右下角或中间某个地方开始的话, 排除完一块区域后, 我们接下来总有两个方向选择: 排除了右下矩阵, 则可以向左或者向上继续遍历, 同理排除左上矩阵也会有向右和向下两个方向可选.
• 而如果起点选在左下角或者右上角, 情况就不同了, 只会有一种选择. 这里以左下角起点为例, 我们可以通过递推来得出结论:
  • 如果初始值小于 target, 因为下边没元素, 所以只能向右不能向下;
  • 如果初始值大于 target, 因为左边没元素, 所以只能向上不能向左;
  • 如果第一步操作是向右, 那么第二个值如果小于 target, 还只能向右, 因为下边仍然没元素; 而如果大于 target, 还只能向上, 因为左边的整列都已经在上一次被排除掉了, 结果不可能存在于左边
  • 而如果第一步操作是向上, 按照同样的分析, 仍然可得还是只能向右或者向上继续遍历
  • 以此类推, 每次都是要么向右, 要么向上, 就能排查完矩阵所有的数字得出结果

实现

• 初始化坐标为左下角(当然右上角也可以, 大家可以想想看代码要怎么改), 然后判断当前点与 target 的关系, 大于的话行号减 1, 小于的话列号+1, 直到找到等于 target 的点, 或者超出矩阵范围
• 下面代码中对必要的步骤都有注释, 方便大家理解

复杂度

• 时间复杂度 O(R+C)
  • 循环每次要么行号-1, 要么列号+1, 最多只用循环 R+C 次
• 空间复杂度 O(1)
  • 只使用了几个变量

代码

class Solution:    def findNumberIn2DArray(self, matrix: List[List[int]],                            target: int) -> bool:        if not matrix:            return False        rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])        # 起点为左下角        r, c = rows - 1, 0        while r >= 0 and c < cols:            if matrix[r][c] > target:                # 大于target, 向上                r -= 1            elif matrix[r][c] < target:                # 小于target, 向右                c += 1            else:                # 找到target, 返回True                return True        # 遍历整个矩阵都找不到, 返回False        return False

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