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4. 寻找两个有序数组的中位数给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。请你找出这两个有序数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。示例 1:nums1 = [1, 3]nums2 = [2]则中位数是 2.0示例 2:nums1 = [1, 2]nums2 = [3, 4]则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
切题
一、Clarification
1、明确题目
两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2
中位数:将一个集合划分为两个长度相等的子集,其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。 时间复杂度为 O(log(m + n))。二、Possible Solution
两个大小为 m 和 n 的有序数组 A、B 假设m<n,len(A)<len(B) A中任一位置 i 将 A 划分成两个部分:left_A | right_A |
---|---|
A[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[m-1] |
B中任一位置 j 将 B 划分成两个部分:
left_B | right_B |
---|---|
B[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[n-1] |
将A,B看成一个整体,将left_A和left_B放入一个集合,将right_A和right_B放入另一个集合。两个新的集合分别命名为 **left_part **和 right_part。
left_part | right_part |
---|---|
A[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[m-1] |
B[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[n-1] |
如果满足
len(left_part)=len(right_part)
max(left_part) <= min(right_part)
那么,我们已经将 {A,B} 中的所有元素划分为相同长度的两个部分,那么中位数就为:
$$median =\frac{max(leftpart)+min(rightpart)}{2}$$
len(left_part)=len(right_part) 那么:
$$i + j = m−i+n−j$$
当m+n为奇数时,为了确保中位数落在left_part中便于后续处理,这里可为$$i + j = m−i+n−j+1也就可以得到 j = \frac{m + n + 1}{2} - i,0<=i<=m $$
max(left_part) <= min(right_part)那么:
$$B[j-1]<=A[j] 并且 A[i-1]<=B[j]$$ 注意边界情况: max_of_left 为左边最大值,min_of_right 为右边最小值i == 0 时 : max_of_left = B[j-1]j == 0 时 : max_of_left = A[i-1]i == m 时 : min_of_right = B[j]j == n 时 : min_of_right = A[i]
我们需要做的是:
$$B[j-1]<=A[j] 并且 A[i-1]<=B[j],其中j = \frac{m + n + 1}{2} - i,0<=i<=m $$
由于数组是有序的并且要求时间复杂度为 O(log(m + n))可以容易想到二分查找的方法,不过处理复杂点:
1、设 imin=0,imax=m, 然后开始在 [imin,imax] 中进行搜索。 2、那么$$i = \frac{imin+ imax}{2}, j = \frac{m + n + 1}{2} - i $$ 3、len(left_part)=len(right_part)会遇到三种情况:- 情况一:B[j−1]≤A[i] 且A[i−1]≤B[j]: 这意味着我们找到了目标对象 i,可以停止搜索。
- 情况二:B[j−1]>A[i],i<m: 这意味着 A[i] 太小,我们必须增大 i 以使 B[j−1]≤A[i],也就是在[ i+1,imax]中进行搜索
- 情况三:A[i−1]>B[j], i>0: 这意味着 A[i−1] 太大,我们必须减小 i 以使 A[i−1]≤B[j]。也就是在[imin,i+1]中进行搜索
注意当找到目标对象 i 时,中位数需要根据m+n的奇偶来取值:
$$ max(A[i-1],B[j-1]),当 m + n 为奇数时,由上面i + j = m−i+n−j+1确保中位数落在左边$$
$$ \frac{max(A[i-1],B[j-1]) +min(A[i],B[j])}{2},当 m+n 为偶数时$$
Python3
二分查找方法
# @author:leacoder# @des: 二分查找变式 寻找两个有序数组的中位数# 什么是中位数:将一个集合划分为两个长度相等的子集,其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。class Solution: def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float: # 确保 m < n 便于后续处理 m, n = len(nums1), len(nums2) if m > n: # 如果大于了 交换 nums1 与 nums2 nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m if n == 0: raise ValueError # 确保 m < n end imin, imax, half_len = 0, m, (m + n + 1) / 2 while imin <= imax: i = int((imin + imax) / 2) j = int(half_len - i) # 确保中位数落在左边 if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]: # 情况二: # i 太小 imin = i + 1 elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]: # 情况三: # i 太大 imax = i - 1 else: # 情况一: # i 满足要求,但有些边界需注意 if i == 0: max_of_left = nums2[j-1] elif j == 0: max_of_left = nums1[i-1] else: max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1]) if (m + n) % 2 == 1: # m + n 为奇数 return max_of_left if i == m: min_of_right = nums2[j] elif j == n: min_of_right = nums1[i] else: min_of_right = min(nums1[i], nums2[j]) return (max_of_left + min_of_right) / 2.0 #m + n 为偶数时
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