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在一个 m * n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: [  [1,3,1],  [1,5,1],  [4,2,1]]输出: 12解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

解法 动态规划

class Solution {
   public:    int maxValue(vector
   
    
     >& grid) {
           if (grid.empty()) return 0;        int m = grid.size(), n = grid[0].size();        vector
     
      
       > dp(m, vector
       
        (n));        //dp[i][j]表示从grid[0][0]到grid[i][j]得到的最大价值        for (int i = 0; i < m; ++i) {
               for (int j = 0; j < n; ++j) {
                   if (i == 0 && j == 0) dp[i][j] = grid[i][j];                else if (i == 0) dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];                else if (j == 0) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];                else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];            }        }        return dp[m - 1][n - 1];    }};
       
      
     
    
   

一次性通过，运行效率如下：

执行用时：16 ms, 在所有 C++ 提交中击败了85.59% 的用户内存消耗：9.6 MB, 在所有 C++ 提交中击败了28.22% 的用户

类似于01背包，空间优化如下：

class Solution {
   public:    int maxValue(vector
   
    
     >& grid) {
           if (grid.empty()) return 0;        int m = grid.size(), n = grid[0].size();        vector
     
      
       > dp(2, vector
       
        (n));        for (int i = 0; i < m; ++i) {
               for (int j = 0; j < n; ++j) {
                   if (i == 0 && j == 0) dp[i & 1][j] = grid[i][j];                else if (i == 0) dp[i & 1][j] = dp[i & 1][j - 1] + grid[i][j];                else if (j == 0) dp[i & 1][j] = dp[!(i & 1)][j] + grid[i][j];                else dp[i & 1][j] = max(dp[!(i & 1)][j], dp[i & 1][j - 1]) + grid[i][j];            }        }        return max(dp[0][n - 1], dp[1][n - 1]);    }};
       
      
     
    
   

更简洁的写法如下：

class Solution {
   public:    int maxValue(vector
   
    
     >& grid) {
           if (grid.empty()) return 0;        int m = grid.size(), n = grid[0].size();        vector
     
      
       > dp(2, vector
       
        (n + 1)); //空间+1        for (int i = 0; i < m; ++i)            for (int j = 0; j < n; ++j)                dp[i & 1][j + 1] = max(dp[!(i & 1)][j + 1], dp[i & 1][j]) + grid[i][j];        return max(dp[0][n], dp[1][n]);    }};
       
      
     
    
   

运行效率如下：

执行用时：12 ms, 在所有 C++ 提交中击败了98.51% 的用户内存消耗：9.2 MB, 在所有 C++ 提交中击败了77.27% 的用户

继续优化空间：

class Solution {
   public:    int maxValue(vector
   
    
     >& grid) {
           if (grid.empty()) return 0;        int m = grid.size(), n = grid[0].size();        vector
     
       dp(n + 1);        for (int i = 0; i < m; ++i)            for (int j = 0; j < n; ++j)                dp[j + 1] = max(dp[j], dp[j + 1]) + grid[i][j];        return dp[n];    }};
     
    
   

运行效率如下：

执行用时：12 ms, 在所有 C++ 提交中击败了98.51% 的用户内存消耗：9.2 MB, 在所有 C++ 提交中击败了77.27% 的用户

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