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绪论：加法原理、乘法原理#

分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。

区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。

排列问题

排列数#

从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。

排列数公式#

Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n （规定0!=1）

推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行：

取第一个：有n种取法；

取第二个：有(n−1)种取法； 取第三个：有(n−2)种取法； …… 取第m个：有(n−m+1)种取法；

根据分步乘法原理，得出上述公式。

排列数性质#

Amn=nAm−1n−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。

Amn=mAm−1n−1+Amn−1 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。

组合问题

组合数#

从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。

组合数公式#

Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n C0n=Cnn=1 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

将部分排列问题Amn分解为两个步骤：

第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即组合数问题Cmn；

第二步，则是把这m个被抽出来的球排序，即全排列Amm。

根据乘法原理，Amn=CmnAmm，那么

Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!

组合数的性质# Cmn=Cn−mn 可以理解为：将原本的每个组合都反转，把原来没选的选上，原来选了的去掉，这样就变成从n个元素种取出n−m个元素，显然方案数是相等的。

递推公式Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1 可理解为：含特定元素的组合有Cm−1n−1，不含特定元素的排列为Cmn−1。还不懂？看下面。

Example

从1，2，3，4，5（n=5）中取出2（m=2）个元素的组合（Cmn）：

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

显然，这些组合中要么含有元素“1”，要么不含。

其中含有“1”的是：12 13 14 15

把里面的“1”都挖掉：2 3 4 5

而上面这个等价于从2，3，4，5（n−1）中取出1（m−1）个元素的组合。

其中不含“1”的是：23 24 25 34 35 45

上面等价于从2，3，4，5（n−1）中取出2（m）个元素的组合。

而总方案数等于上面两种情况方案数之和，即Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1。

组合数求和公式#

C0n+C1n+C2n+⋯+Cnn=2n 我们感性认知一下，上面这个式子的左边表示什么呢？

把从n个球中抽出0个球的组合数（值为1）、抽出1个球的组合数、抽出2个球的组合数、……、抽出n个球的组合数相加。

换句话说，就是从n个球中随便抽出一些不定个数球，问一共有多少种组合。

对于第1个球，可以选，也可以不选，有2种情况。

对于第2个球，可以选，也可以不选，有2种情况。 对于任意一个球，可以选，也可以不选，有2种情况。

根据乘法原理，一共2×2×⋯×2⏟n个2相乘=2n种组合。

想要严谨的证明？数学归纳法：

当m=1时，C01+C11=2=21成立。

假设n=k(k∈N∗)时等式成立，即

k∑i=0Cik=2n

成立，当n=k+1时，

C0k+1+C1k+1+C2k+1+⋯+Ckk+1+Ck+1k+1=C0k+1+(C0k+C1k)+(C1k+C2k)+⋯+(Ck−1k+Ckk)+Ck+1k+1=(C0k+C1k+C2k+⋯+Ckk)+(C0k+C1k+C2k+⋯+Ckk)=2×2k=2k+1

等式也成立。

由1、2得，等式对n∈N∗都成立。

也可偷懒地用二项式定理证明（其实二项式定理也是用数学归纳法证明的）：

(a+b)n=n∑k=0Cknan−kbk

令a=b=1，就得到了

n∑i=0Cin=2n

类似的公式（由Cmn=Cn−mn推导）：

C0n+C2n+C4n+⋯=C1n+C3n+C5n+⋯=2n−1

杨辉三角

这个神奇的图形和组合数、二项式定理密切相关。

杨辉三角可以帮助你更好地理解和记忆组合数的性质：

第n行的m个数可表示为 Cm−1n−1，即为从n−1个不同元素中取m−1个元素的组合数。

第n行的数字有n项。

每行数字左右对称（第n行的第m个数和第n−m+1个数相等，Cmn=Cn−mn），由1开始逐渐变大。

每个数等于它上方两数之和（第n+1行的第i个数等于第n行的第i−1个数和第i个数之和，即Cin+1=Cin+Ci−1n）。

(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的每一项（二项式定理）。

以下来自维基百科

二项式系数

二项式系数可排列成帕斯卡三角形。

在数学上，二项式系数是二项式定理中各项的系数。一般而言，二项式系数由两个非负整数n和k为参数决定，写作，定义为的多项式展开式中，项的系数，因此一定是非负整数。如果将二项式系数写成一行，再依照顺序由上往下排列，则构成帕斯卡三角形。 (nk)(1+x)nxk(n0),(n1),…,(nn)n=0,1,2,…

二项式系数常见于各数学领域中，尤其是组合数学。事实上，可以被理解为从n个相异元素中取出k个元素的方法数，所以大多读作「n取k」。二项式系数的定义可以推广至n是复数的情况，而且仍然被称为二项式系数。

二项式系数亦有不同的符号表达方式，包括：C(n,k)、nCk、nCk、、[注3]，其中的C代表组合（combinations）或选择（choices）。很多计算机使用含有C的变种记号，使得算式只占一行的空间，相同理由也发生在置换数，例如写作P(n,k)。 CknCnkPnk

定义及概念

对于非负整数n和k，二项式系数定义为的多项式展开式中，项的系数，即 (nk)(1+x)nxk

(1+x)n=n∑k=0(nk)xk=(n0)+(n1)x+⋯+(nn)xn

事实上，若x、y为交换环上的元素，则

(x+y)n=∑nk=0(nk)xnkyk

此数的另一出处在组合数学，表达了从n物中，不计较次序取k物有多少方式，亦即从一n元素集合中所能组成k元素子集的数量。

计算二项式系数

除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算的值。 (nk)

递归公式

以下递归公式可计算二项式系数：

(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)∀n,k∈N

其中特别指定：

(n0)=1∀n∈N∪{0},(0k)=0∀k∈N.

此公式可由计算(1 + X ) n −1 (1 + X )中的X k项，或点算集合{1, 2, …, n }的k个元素组合中包含n与不包含n的数量得出。

显然，如果k > n，则。而且对所有n，，故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。 \tbinom nk=0\tbinom nn=1

帕斯卡三角形(杨辉三角)

有关二项式系数的恒等式

关系式

阶乘公式能联系相邻的二项式系数，例如在k是正整数时，对任意n有：

(n+1k)=(nk)+(nk−1)

(nk)=nk(n−1k−1) (n−1k)−(n−1k−1)=n−2kn(nk) 两个组合数相乘可作变换：

(ni)(im)=(nm)(nmim)

n∑r=0(nr)=2n k∑r=0(n+r−1r)=(n+kk) nk∑r=0(−1)r(n+1)k+r+1(nkr)=(nk)−1 n∑r=0(dndr)=1dd∑r=1(1+e2πrid)dn n∑i=m(a+ii)=(a+n+1n)−(a+mm−1) (a+mm−1)+(a+mm)+(a+m+1m+1)+…+(a+nn)=(a+n+1n) Fn=∞∑i=0(nii) Fn−1+Fn=∞∑i=0(n−1−ii)+∞∑i=0(nii)=1+∞∑i=1(nii−1)+∞∑i=1(nii)=1+∞∑i=1(n+1−ii)=∞∑i=0(n+1−ii)=Fn+1 主条目：朱世杰恒等式

n∑i=m(ia)=(n+1a+1)−(ma+1)(ma+1)+(ma)+(m+1a)…+(na)=(n+1a+1)

二阶求和公式

n∑r=0(nr)2=(2nn)

n∑i=0(r1+n−1−ir1−1)(r2+i−1r2−1)=(r1+r2+n−1r1+r2−1) (1−x)−r1(1−x)−r2=(1−x)−r1−r2 (1−x)−r1(1−x)−r2=(∞∑n=0(r1+n−1r1−1)xn)(∞∑n=0(r2+n−1r2−1)xn)=∞∑n=0(n∑i=0(r1+n−1−ir1−1)(r2+i−1r2−1))xn (1−x)−r1−r2=∞∑n=0(r1+r2+n−1r1+r2−1)xn 主条目：范德蒙恒等式

k∑i=0(ni)(mki)=(n+mk)

三阶求和公式 主条目：李善兰恒等式

(n+kk)2=k∑j=0(kj)2(n+2k−j2k)

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