1.1.2　集合间的基本关系

课时目标　1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中，了解空集的含义．

1．子集的概念

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．

2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

3．集合相等与真子集的概念

	定义	符号表示	图形表示
集合 相等	如果__________， 就说集合A与B相等	A＝B
真子集	如果集合A⊆B，但存在元素__________， 称集合A是B的真子集	AB (或BA)

4.空集

(1)定义：______________的集合叫做空集．

(2)用符号表示为：____.

(3)规定：空集是任何集合的______．

5．子集的有关性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么___________________________．

一、选择题

1．集合P＝{

x|y＝x＋1}，集合Q＝{ y|y＝x－1}，则P与Q的关系是(　　)

A．P＝Q                              B．PQ

C．PQ                              D．P∩Q＝∅

2．满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是(　　)

A．3          B．6          C．7           D．8

3．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是(　　)

A．B是A的子集

B．A中的元素都不是B中的元素

C．A中至少有一个元素不属于B

D．B中至少有一个元素不属于A

4．下列命题：

①空集没有子集；

②任何集合至少有两个子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若∅A，则A≠∅.

其中正确的个数是(　　)

A．0           B．1           C．2           D．3

5．下列正确表示集合M＝{

－1,0,1}和N＝{ x|x²＋x＝0}关系的Venn图是(　　)

6．集合M＝{

x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{ y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{ z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是(　　)

A．SPM                  B．S＝PM

C．SP＝M                     D．P＝MS

题　号	1	2	3	4	5	6
答　案

二、填空题

7．已知M＝{

x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)

8．已知集合A＝{

x|1<< span="">x<2}< span="">，B＝{ x|x<< span="">a}，若AB，则实数a的取值范围是________．

9．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．

三、解答题

10．若集合A＝{

x|x²＋x－6＝0}，B＝{ x|x²＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．

11．已知集合A＝{

x|－2≤x≤5}，B＝{ x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．

能力提升

12．已知集合A＝{

x|1<< span="">ax<2}< span="">，B＝{ x|－1<< span="">x<1}< span="">，求满足A⊆B的实数a的取值范围．

13．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.

1．子集概念的多角度理解

(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.

(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.

拓展　当A不是B的子集时，我们记作“AB”(或BA)．

2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展

(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．

(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含 (⊇)、真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．

1．1.2　集合间的基本关系

知识梳理

1．任意一个　A⊆B　B⊇A　A含于B　B包含A　2.封闭

3．A⊆B且B⊆A　x∈B，且x∉A　4.(1)不含任何元素　(2)∅

(3)子集　5.(1)A⊆A　(2)A⊆C

作业设计

1．B　[∵P＝{

x|y＝x＋1}＝{ x|x≥－1}，Q＝{ y|y≥0}

∴PQ，∴选B.]

2．C　[M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]

3．C

4．B　[只有④正确．]

5．B　[由N＝{－1,0}，知NM，故选B.]

6．C　[运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．]

7．①②

解析　①、②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．

8．a≥2

解析　在数轴上表示出两个集合，可得a≥2.

9．6

解析　(1)若A中有且只有1个奇数，

则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；

(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或∅.

10．解　A＝{－3,2}．对于x²＋x＋a＝0，

(1)当Δ＝1－4a<0，即< span="">a>14时，B＝∅，B⊆A成立；

(2)当Δ＝1－4a＝0，即a＝14时，B＝{－12}，B⊆A不成立；

(3)当Δ＝1－4a>0，即a<< span="">14时，若B⊆A成立，

则B＝{－3,2}，

∴a＝－3×2＝－6.

综上：a的取值范围为a>14或a＝－6.

11．解　∵B⊆A，∴①若B＝∅，

则m＋1>2m－1，∴m<2.< span="">

②若B≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示．

要使B⊆A，则m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，

解得m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3.

由①、②，可知m≤3.

∴实数m的取值范围是m≤3.

12．解　(1)当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.

(2)当a>0时，A＝{

x|1a<< span="">x<< span="">2a}．

又∵B＝{

x|－1<< span="">x<1}，< span="">A⊆B，

∴\f(1a2a)≤1，∴a≥2.

(3)当a<0时，< span="">A＝{

x|2a<< span="">x<< span="">1a}．

∵A⊆B，∴\f(2a1a)≤1，∴a≤－2.

综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.

13．5

解析　若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，

若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．

寄语：机会对每个人都是平等的，面对机会，你没有做好准备、缺乏能力，它就会擦身而过。与其在眼睁睁看着机会溜走时怨天尤人，不如在平日里打磨自己、提升能力，以最好的姿态迎接任何可能的机会。