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前言
高考中在压轴题中考查的函数有千千万,但是总能从其中找到一些比较核心的函数来;
常用函数
比如基本初等函数$f(x)=x$和$g(x)=e^x$做四则运算得到的这些函数:
$h(x)=x\pm e^x$;
$m(x)=x\cdot e^x$;$n(x)=\cfrac{e^x}{x}$;$r(n)=\cfrac{x}{e^x}$; 例1【2016宝鸡市二检理科第11题】若函数$f(x)=x\cdot e^x-a$有两个零点,则实数$a$的取值范围是【】
分析:若熟知上图的图像,分离参数,数形结合可得正确选项为$D$。
比如基本初等函数$f(x)=x$和$g(x)=lnx$做四则运算得到的这些函数:
$h(x)=x\pm lnx$;
$h(x)=x\cdot ln^x$;$h(x)=\cfrac{lnx}{x}$;
可以将他们作为导数工具的练习对象,熟练掌握他们的函数图像,有助于我们快速判断解题思路,作图时要注意因子$e^x$和$lnx$;
常用不等式
①、$e^x>x+1(x\neq 0)$
证明思路:
【法1】数形结合法,令$f(x)=e^x$,$g(x)=x+1$,在同一个坐标系中作出这两个函数的图像,
由图像可知,当$x\neq 0$时,都满足关系$e^x>x+1$。
补充:至于函数$f(x)=e^x$和函数$g(x)=x+1$为什么会相切与点$(0,1)$,
我们可以用导数方法来解答。
【法2】作差构造函数法,令$h(x)=e^x-x-1$,则$h'(x)=e^x-1$ ,
当$x<0$时,$h'(x)<0$;当$x>0$时,$h'(x)>0$;
即函数$h(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减,在$(0,+\infty)$上单调递增,
故函数$h(x)_{min}=h(0)=0$,故$h(x)\ge 0$,当且仅当$x=0$时取到等号,
故$x\neq 0$时,总有$h(x)>0$,即$e^x>x+1$。
②、$e^x\ge x+1$,注意没有$x\neq 0$的条件限制。
③、$lnx\leq x-1(x>0)$
证明思路:【法1】数形结合法,令$f(x)=lnx$,$g(x)=x-1$,
在同一个坐标系中作出这两个函数的图像,
由图像可知,当$x> 0$时,都满足关系$lnx\leq x-1$。
【法2】:作差构造函数法,令$h(x)=lnx-x+1(x>0)$,则$h'(x)=\cfrac{1}{x}-1$,
当$00$;当$x>1$时,$h'(x)<0$;
即函数$h(x)$在$(0,1)$上单调递增,在$(1,+\infty)$上单调递减,
故函数$h(x)_{max}=h(1)=0$,故$h(x)\leq 0$,当且仅当$x=1$时取到等号,
故$x> 0$时,总有$h(x)\leq 0$,即$lnx\leq >x-1$。
【法3】利用反函数法,此法主要基于$e^x\ge x+1$的结论,
由于函数$y=e^x$以及函数$y=x+1$关于直线$y=x$的对称函数
分别是$y=lnx$和函数$y=x-1$,故得到$lnx\leq x-1$。
【法4】:利用代数变换,由$e^x\ge x+1$,两边取自然对数得到$lne^x\ge ln(x+1)$,
即$x\ge ln(x+1)$,再用$x-1$替换$x$,得到$x-1\ge lnx$,即$lnx\leq x-1$。
不等式的变形
$e^x\ge x+1$的常见变形:
$e^x\ge x+1\xrightarrow{用x+1替换x} e^{x+1}\ge x+2 $
$\Rightarrow e^{x+2}\ge x+3 \Rightarrow e^{x+n}\ge x+n+1(n\in N^*) $
$e^{\frac{1}{3n}}>\cfrac{1}{3n}+1(等号取不到)$。
$e^x+2x-1\ge 0$的解集,利用图像求解。转化为$e^x\ge 1-2x$,做两个图像就能看出,解集为$[0,+\infty)$
$e^x+kx-1\ge 0(k>0)$的解集,利用图像求解。转化为$e^x\ge 1-kx$,做两个图像就能看出,解集为$[0,+\infty)$
$lnx\leq x-1(x>0)$的常见变形:
$x+n\ge ln(x+n+1)(x\neq 1)$
$x-1> lnx \xrightarrow{用\cfrac{1}{x}替换x} \cfrac{1}{x}-1> ln\cfrac{1}{x}$
$\Leftrightarrow \cfrac{1-x}{x}>-lnx \Leftrightarrow lnx>\cfrac{x-1}{x}=1-\cfrac{1}{x}$。
$ln\cfrac{1}{x+1}\leq \cfrac{1}{1+x}-1(x>-1) \Leftrightarrow (1+x)ln(1+x)\ge x$
当$x>0$时,$ln(x+1)
故$ln(x+1)^{\cfrac{1}{x}}<1=lne$,故$(x+1)^{\frac{1}{x}}
将此结论应用到自然数得到$(n+1)^{\cfrac{1}{n}}
用$x\Rightarrow lnx$,得到$x\geqslant lnx+1$.
典例剖析
例2【2016山东青岛一模】已知函数$f(x)=sinx-ax$,
(1).对于$x\in(0,1)$,$f'(x)>0$恒成立,求实数$a$的取值范围。
分析:利用$cosx-a>0$在$x\in(0,1)$恒成立,可以求得$a
(2).当$a=1$时,令$h(x)=f(x)-sinx+lnx+1$,求$h(x)$的最大值。
分析:此时$h(x)=lnx-x+1$,如果能知道结论$lnx\leq x-1$,
即可知$h(x){max}=h(1)=0$。或利用导数也可以求得$h(x){max}=h(1)=0$。
(3).求证:$ln(n+1)<1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{n}(n\in N^*)$。
分析:看到这样的不等式关系,我们应该想到的有裂项相消法、数学归纳法,
法1: 由(2)的结论$lnx \leq x-1$得到$ln(x+1)\leq x(x\neq 0)$,
若将其延伸到自然数,则有$ln(n+1)
用$\cfrac{1}{n}$替换$n$,变形得到$ln(\cfrac{1}{n}+1)
即$ln(\cfrac{n+1}{n})=ln(n+1)-lnn
令此式中的$n$分别取$1,2,3,\cdots,n$,即得到以下$n$个表达式:
$ln\cfrac{2}{1}<1$;即$ln2-ln1<1$
$ln\cfrac{3}{2}
$ln\cfrac{4}{3}
$\cdots$;$\cdots$;
$ln\cfrac{1+n}{n}
$ln(n+1)-ln1<1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{n}$,
即$ln(n+1)<1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{n}(n\in N^*)$。
法2:可以考虑用数学归纳法,待后思考。
例3求证:$(1+\cfrac{1}{3})\cdot (1+\cfrac{1}{3^2})\cdot(1+\cfrac{1}{3^3})\cdots (1+\cfrac{1}{3^n})<2$。
证明:先用导数证明$e^x\ge x+1$,再做代换,用$\cfrac{1}{3^n}$替换$x$,
得到$e^{\frac{1}{3^n}}>\cfrac{1}{3^n}+1$;即$1+\cfrac{1}{3^n}
故$(1+\cfrac{1}{3})\cdot (1+\cfrac{1}{3^2})\cdot(1+\cfrac{1}{3^3})\cdots (1+\cfrac{1}{3^n})$
$
$=e^{\cfrac{\frac{1}{3}\cdot[1-(\frac{1}{3})^n]}{1-\frac{1}{3}}}$
$=e^{\cfrac{1}{2}(1-\cfrac{1}{3^n})}
故得证。
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