第六章 3维转动变换

6.1 介绍

在这章我们会复习在电脑图形软件使用的3维欧拉转动变换。特别的，我们确定了他们的阿克琉斯之踵——万向节锁，和需要能够围绕一个任意轴旋转。为此，我们将开发一个矩阵变换实现这样的旋转，在下一章使用四元数开发了一个类似的变换。

6.2 3维转动变换

旋转点和参照系的传统技术的基础是欧拉旋转，这是以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名。他们提供了三种旋转的方式。第一个是围绕三个直角坐标轴中的一个旋转。第二个组合任意两个关于不同轴的旋转，第三个组合任何三个轴旋转。

起初，这种方法听起来很吸引人，在很多情况下效果很好，但也存在一些与技术相关的问题。第一个问题是，当两个或两个以上的旋转相结合，这是很难想象和预测最终的旋转行为。第二个问题是影响一个特定轴的旋转是复杂的，第三个是在某些条件下，一个物体失去旋转到一个物体的旋转轴。最后一个问题被称为万向节锁。为了理解这些问题，我们将构造一个使用万向节锁的三维旋转变换。

6.3关于坐标轴旋转

在平面上绕原点的旋转变换如下

这可以通过添加第三坐标推广到一个绕笛卡尔坐标轴的三维旋转。例如，绕Z坐标轴如下：

这表达了下图的转动

绕x轴转动，则x轴坐标保持常数，y和z坐标按2维转换形式改变：

最后，关于y轴的转动，y坐标保持不变，x和z轴改变

6.4绕一个偏置轴旋转

绕一个与笛卡尔坐标轴平行的轴旋转，通常使用齐次坐标并平移旋转点到原点，这样它就可以绕原点旋转，然后以相等的数量向反方向平移。假定读者熟悉这一策略。然而为了完整性，我们将构造一个变换，它旋转一个与z轴平行的轴上的点(t_x,t_y,0)，如图6.2所示的点：

其中

T_{−tx,−ty,0} 创造临时原点

R_β_,z 绕临时z轴旋转β角

T_tx,ty,0 返回到原来原点的位置

矩阵形式是

绕x轴和y轴的偏置的转换矩阵如下：

6.5复合旋转

先不说单轴和偏置轴转动的变换，我们在笛卡尔轴上旋转三种变换：R_α_、_x，R_β_、_y和R_γ_、_x，可以组合产生双和三次变换。如上所述，这种旋转称为欧拉旋转，假定读者熟悉它们的构造。三重组合有：

为了说明万向节锁的问题，我们将使用一个立方体，其顶点编号为0到7，如图6.3所示。

我们可以通过在任何序列中放置R_α_、_x，R_β_、_y和R_γ_、_z来生成一个复合旋转变换，只要它们被不同的变换分开，就可以重复两次。作为后者的一个例子，我们可以使用序列R_α_，_z，R_β_，_y，R_γ_，_z，我们在z轴旋转两次。然而为了说明万向节锁，让我们选择序列R_γ_，_z，R_β_，_y，R_α_，_x，使α=β=γ= 90°，相当于一个点绕固定x轴旋转90°，然后再绕固定y轴旋转90°，然后再绕固定z轴上旋转90°。该旋转序列如图6.4所示。

图6.4（a）显示了立方体的起始位置；（b）在绕x轴旋转90°后的位置；（c）在绕y轴进一步旋转90°后的位置；（d）在绕z轴旋转90°后静止立方体的位置。

然而，尽管在不同的轴上使用了三个旋转，立方体实际上只绕y轴旋转了90°！立方体绕通过顶点0和4的轴旋转了两次，绕穿过顶点0和1的轴一次，但是穿过顶点0和2的轴被忽略了。这被称为万向节锁，是通过一个不幸的旋转序列组合和角度产生。

转动复合旋转R_α_，_x， R_β_，_y，R_γ_，_z没有改善问题。这种复合变换相当于绕固定Z轴旋转90°，其次是旋转90°的固定y轴，其次是旋转90°关于固定x轴。该旋转序列如图6.5所示。

检查图6.5（d）表明，单元立方体已绕向量[ 1 0 1 ]^T旋转180°，即过顶点0和5的轴线。这一次，立方体绕一个过顶点0和1的轴旋转两次，过顶点0和4的轴旋转一次，并且再次忽略了过顶点0和2的轴。不难看出为什么欧拉旋转引起这么多问题。让我们继续看看我们如何绕任意轴旋转。

6.6绕任意轴旋转

个别欧拉变换没有任何根本的错误，，这是他们旋转相结合的方式的缺陷。理想情况下，我们需要一个旋转变换，允许我们指定轴和旋转角度，这就是我们要计算的。第一种技术使用矩阵和三角函数，相当费力。第二种方法采用向量分析，非常简洁。

6.6.1矩阵

我们先用一个单位矢量n定义点P的旋转轴，如图6.6所示，点P旋转α角到P’。由于我们只有绕笛卡尔坐标轴旋转的变换矩阵，所以这个单位向量必须暂时与笛卡尔坐标轴轴对齐。在下面的例子中，我们选择x轴。在对准过程中，点P进行必要的变换以使单位向量n与x轴对齐。然后在x轴上旋转P点α度。为了完成操作，旋转的点将按单位向量返回到变换初始位置。