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最大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）和最大后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称MAP）是很常用的两种参数估计方法，如果不理解这两种方法的思路，很容易弄混它们。下文将详细说明MLE和MAP的思路与区别。

但别急，我们先从概率和统计的区别讲起。

概率和统计是一个东西吗？

概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。

概率研究的问题是，已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果的特性（例如均值，方差，协方差等等）。 举个例子，我想研究怎么养猪（模型是猪），我选好了想养的品种、喂养方式、猪棚的设计等等（选择参数），我想知道我养出来的猪大概能有多肥，肉质怎么样（预测结果）。

统计研究的问题则相反。统计是，有一堆数据，要利用这堆数据去预测模型和参数。仍以猪为例。现在我买到了一堆肉，通过观察和判断，我确定这是猪肉（这就确定了模型。在实际研究中，也是通过观察数据推测模型是／像高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等），然后，可以进一步研究，判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑山猪还是网易猪，等等（推测模型参数）。

一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。

显然，本文解释的MLE和MAP都是统计领域的问题。它们都是用来推测参数的方法。为什么会存在着两种不同方法呢？ 这需要理解贝叶斯思想。我们来看看贝叶斯公式。

贝叶斯公式到底在说什么？

学习机器学习和模式识别的人一定都听过贝叶斯公式(Bayes’ Theorem)：

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\text{\hspace{1em}(1)}$$

贝叶斯公式看起来很简单，无非是倒了倒条件概率和联合概率的公式。

把B展开，可以写成：

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\sim A)P(\sim A)}（\sim A表示”非A”）\text{\hspace{1em}(2)}$$

这个式子就很有意思了。

想想这个情况。一辆汽车（或者电瓶车）的警报响了，你通常是什么反应？有小偷？撞车了？ 不。。 你通常什么反应都没有。因为汽车警报响一响实在是太正常了！每天都要发生好多次。本来，汽车警报设置的功能是，出现了异常情况，需要人关注。然而，由于虚警实在是太多，人们渐渐不相信警报的功能了。

贝叶斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件证据？（how much you can trust the evidence）

我们假设响警报的目的就是想说汽车被砸了。把A计作“汽车被砸了”，B计作“警报响了”，带进贝叶斯公式里看。我们想求等式左边发生$A|B$的概率，这是在说警报响了，汽车也确实被砸了。汽车被砸引起（trigger） 警报响，即$B|A$。但是，也有可能是汽车被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因（统统计作$\sim A$），其他原因引起汽车警报响了，即$B|\sim A$。那么，现在突然听见警报响了，这时汽车已经被砸了的概率是多少呢（这即是说，警报响这个证据有了，多大把握能相信它确实是在报警说汽车被砸了）？想一想，应当这样来计算。用警报响起、汽车也被砸了这事件的数量，除以响警报事件的数量（这公式1）。进一步展开，即警报响起、汽车也被砸了的事件的数量，除以警报响起、汽车被砸了的事件数量加上警报响起、汽车没被砸的事件数量（这即公式2）。

可能有点绕，请稍稍想一想。

再思考公式。想让$P(A|B)=1$，即警报响了，汽车一定被砸了，该怎么做呢？让$P(B|\sim A)P(\sim A)=0$即可。很容易想清楚，假若让$P(\sim A)=0$，即杜绝了汽车被球踢、被行人碰到等等其他所有情况，那自然，警报响了，只剩下一种可能——汽车被砸了。这即是提高了响警报这个证据的说服力。

从这个角度总结贝叶斯公式：做判断的时候，要考虑所有的因素。 老板骂你，不一定是你把什么工作搞砸了，可能只是他今天出门前和太太吵了一架。

再思考公式2。观察公式2右边的分子，$P(B|A)$为汽车被砸后响警报的概率。姑且仍为这是1吧。但是，若$P(A)$很小，即汽车被砸的概率本身就很小，则$P(B|A)P(A)$仍然很小，即【式2】右边分子仍然很小，$P(A|B)$ 还是大不起来。 这里，​$P(A)$即是常说的先验概率，如果A的先验概率很小，就算$P(B|A)$较大，可能A的后验概率$P(A|B)$还是不会大（假设$P(B|\sim A)P(\sim A)$不变的情况下）。

从这个角度思考贝叶斯公式：一个本来就难以发生的事情，就算出现某个证据和他强烈相关，也要谨慎。证据很可能来自别的虽然不是很相关，但发生概率较高的事情。 发现刚才写的代码编译报错，可是我今天状态特别好，这语言我也很熟悉，犯错的概率很低。因此觉得是编译器出错了。 ————别，还是先再检查下自己的代码吧。

好了好了，说了这么多，下面言归正传，说一说MLE。

——————不行，还得先说似然函数（likelihood function）

似然函数

似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典这么解释：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability，这解释也读得通。但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念（其实也很相近就是了）。

对于这个函数：

$$P(x|\theta )$$

输入有两个：$x$表示某一个具体的数据；$\theta$表示模型的参数。

如果$\theta$是已知确定的，$x$是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点$x$，其出现概率是多少。

如果$x$是已知确定的，$\theta$是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。

这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如，$f(x,y)=x^y$, 即$x$的$y$次方。如果$x$是已知确定的(例如$x=2$)，这就是$f(y)=2^y$, 这是指数函数。 如果$y$是已知确定的(例如$y=2$)，这就是$f(x)=x^2$，这是二次函数。同一个数学形式，从不同的变量角度观察，可以有不同的名字。

这么说应该清楚了吧？ 如果还没讲清楚，别急，下文会有具体例子。

现在真要先讲讲MLE了。。

最大似然估计（MLE）

假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率（记为$\theta$）各是多少？

这是一个统计问题，回想一下，解决统计问题需要什么？ 数据！

于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据（$x_0$）是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率$\theta$是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是 二项分布。

那么，出现实验结果$x_0$（即反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？

$$\begin{array}{r}f(x_0,\theta )=(1-\theta )\times \theta \times \theta \times \theta \times \theta \times (1-\theta )\times \theta \times \theta \times \theta \times (1-\theta )\\ ={\theta }^7(1-\theta {)}^3=f(\theta )\end{array}$$

注意，这是个只关于$\theta$的函数。而最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。我们可以画出$f(\theta )$的图像：

这样，我们已经完成了对$\theta$的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。（ummm…这非常直观合理，对吧？）

且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！ 就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信$\theta =0.7$。

这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。 为此，引入了最大后验概率估计。

最大后验概率估计

最大似然估计是求参数$\theta$, 使似然函数$P(x_0|\theta )$最大。最大后验概率估计则是想求$\theta$使$P(x_0|\theta )P(\theta )$最大。求得的$\theta$不单单让似然函数大，$\theta$自己出现的先验概率也得大。 （这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）

MAP其实是在最大化$P(\theta |x_0)=\frac{P(x_0|\theta )P(\theta )}{P(x_0)})$，不过因为$x_0$是确定的（即投出的“反正正正正反正正正反”），$P(x_0)$是一个已知值，所以去掉了分母$P(x_0)$（假设“投10次硬币”是一次实验，实验做了1000次，“反正正正正反正正正反”出现了n次，则$P(x_0)=n/1000$。总之，这是一个可以由数据集得到的值）。最大化$P(\theta |x_0)$的意义也很明确，$x_0$已经出现了，要求$\theta$取什么值使$P(\theta |x_0)$最大。顺带一提，$P(\theta |x_0)$即后验概率，这就是“最大后验概率估计”名字的由来。

对于投硬币的例子来看，我们认为（”先验地知道“）$\theta$取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我们用一个高斯分布来具体描述我们掌握的这个先验知识，例如假设$P(\theta )$为均值0.5，方差0.1的高斯函数，如下图：

如果做了1000次实验，其中700次都是正面向上，这时似然函数为:

这样，就算一个考虑了先验概率的贝叶斯派，也不得不承认得把$\theta$估计在0.7附近了。

PS. 要是遇上了顽固的贝叶斯派，认为$P(\theta =0.5)=1$，那就没得玩了。。 无论怎么做实验，使用MAP估计出来都是$\theta =0.5$。这也说明，一个合理的先验概率假设是很重要的。（通常，先验概率能从数据中直接分析得到）

最大似然估计和最大后验概率估计的区别

相信读完上文，MLE和MAP的区别应该是很清楚的了。MAP就是多了个作为因子的先验概率$P(\theta )$。或者，也可以反过来，认为MLE是把先验概率$P(\theta )$认为等于1，即认为$\theta$是均匀分布。

本文作者: nebulaf91

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