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很多参数估计问题均采用似然函数作为目标函数，当训练数据足够多时，可以不断提高模型精度，但是以提高模型复杂度为代价的，同时带来一个机器学习中非常普遍的问题——过拟合。所以，模型选择问题在模型复杂度与模型对数据集描述能力（即似然函数）之间寻求最佳平衡。

人们提出许多信息准则，通过加入模型复杂度的惩罚项来避免过拟合问题，此处我们介绍一下常用的两个模型选择方法——赤池信息准则 （Akaike Information Criterion，AIC）和贝叶斯信息准则 （Bayesian Information Criterion，BIC）。

1.AIC准则(Akaike Information Criterion)

AIC是衡量统计模型拟合优良性的一种标准，由日本统计学家赤池弘次在1974年提出，它建立在熵的概念上，提供了权衡估计模型复杂度和拟合数据优良性的标准。

通常情况下，它是拟合精度和参数未知个数的加权函数，AIC定义为：

$$AIC=2k-2ln(L)$$

当在两个模型之间存在着相当大的差异时，这个差异出现于上式第二项，而当第二项不出现显著性差异时，第一项起作用，从而参数个数少的模型是好的模型。

让$n$为观察数，$RSS$为剩余平方和，那么AIC变为：

$$AIC=2k+nln(RSS/n)$$

其中$k$是模型中未知参数个数，$L$是模型中极大似然函数值似然函数。从一组可供选择的模型中选择最佳模型时，通常选择AIC最小的模型。

当两个模型之间存在较大差异时，差异主要体现在似然函数项，

当似然函数差异不显著时，上式第一项，即模型复杂度则起作用，从而参数个数少的模型是较好的选择。

一般而言，当模型复杂度提高（$k$增大）时，似然函数L也会增大，从而使AIC变小，但是k过大时，似然函数增速减缓，导致AIC增大，模型过于复杂容易造成过拟合现象。目标是选取AIC最小的模型，AIC不仅要提高模型拟合度（极大似然），而且引入了惩罚项，使模型参数尽可能少，有助于降低过拟合的可能性。可见AIC准则有效且合理地控制了参数的维数k。显然AIC准则追求似然函数尽可能大的同时，k要尽可能的小。

举例：

设$y_1,y_2,\cdots ,y_n$是来自未知总体$g(y)$的样本。总体的概率密度为$f(y;\theta )$,$\theta$是$r\ast 1$未知参数向量。若$\theta$的极大似然估计是${\theta }^{\ast }$，则$L({\theta }^{\ast })={\sum }_{i=1}^n(lnf(y_i;{\theta }^{\ast })〗$就是对数似然函数，由此，

$$AIC=-2L({\theta }^{\ast })+2r$$

可以度量$f(y;\theta )$与$g(y)$之间的差异。

2.BIC准则(Bayesian InformationCriterion)

BIC（Bayesian InformationCriterion）贝叶斯信息准则与AIC相似，用于模型选择，1978年由Schwarz提出。训练模型时，增加参数数量，也就是增加模型复杂度，会增大似然函数，但是也会导致过拟合现象，针对该问题，AIC和BIC均引入了与模型参数个数相关的惩罚项，BIC的惩罚项比AIC的大，考虑了样本数量，样本数量过多时，可有效防止模型精度过高造成的模型复杂度过高。

$$BIC=kln(n)-2ln(L)$$

其中，$k$为模型参数个数，$n$为样本数量，$L$为似然函数。$kln(n)$惩罚项在维数过大且训练样本数据相对较少的情况下，可以有效避免出现维度灾难现象。

3.QAIC准则

为了使用过度离散（或缺乏拟合），提出了改进的AIC准则QAIC：

$$QAIC=-2ln(L)/c+2k$$

4.QH准则(hannan-quinn criterion)

$$HQ=-2ln(L)+ln(ln(n))\ast k$$

其中$L$是在该模型下的最大似然，$n$是数据数量，$k$是模型的变量个数。

注意这些规则只是刻画了用某个模型之后相对“真实模型”的信息损失【因为不知道真正的模型是什么样子，所以训练得到的所有模型都只是真实模型的一个近似模型】，所以用这些规则不能说明某个模型的精确度。

这些规则理论上是比较漂亮的，但是实际在模型选择中应用比较困难的，如若有 5个变量则有32个变量组合，若为10个变量呢？2的10次方，故不可能对所有这些模型进行一一验证AIC, BIC，QAIC，HQ规则来选择模型，工作量太大。

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