本文共 898 字，大约阅读时间需要 2 分钟。

做矩阵低秩近似的时候，需要默认知道一个基本的不等式，这有助于对低秩矩阵近似有一个更深的理解。今天突然想到了，就尝试证明了一下。这个基本的不等式就是两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵中任何一个的秩，即

rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))

下面我给出一个证明，基本思路是利用齐次线性方程组的解的理论来证明，为了方便理解写的啰嗦一些，写的这么啰嗦博友还有还有不明白的地方可以参照陈志杰编的《高等代数与解析几何》中“线性方程组解的情况”这一部分内容，大概位置在上册的第三章：

设A,B分别为s*n与n*m阶的矩阵，构建B的一个齐次线性方程组为BX=0，这是一个m元的齐次线性方程组，即X包含m个未知数，则该方程组的解一定是A(BX)=（AB）X=0的解，换句话说，BX=0的解空间包含在ABX=0的解空间中，也就是说BX=0的自由未知量的个数要少于等于ABX=0中的自由未知量的个数(自由未知量可以理解为表示无穷解情况下的“基”)，即

m-rank(B)<=m-rank(AB)

这时候可以得到rank(AB)<=rank(B)类似地，我再重新构建一个s元齐次线性方程组为A'X=0，则该方程组的解一定也是B'A'X=B'(A'X)=0的解，即A'X=0的解空间包含在B'A'X=0的解空间中，从而有

s-rank(A')<=s-rank(B'A')

这时候得到rank（B'A'）<=rank(A')，而B'A'=（AB）‘，转置不改变矩阵的秩，进而得到rank(AB)<=rank(A)

综上可得rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))

这与低秩矩阵分解有什么关系呢？举一个例子，比如说一个矩阵可以分解成如下图形式：

当k小于m，n的时候，其实上面这个式子就可以看成矩阵A的一个低秩近似，因为B、C两个矩阵的秩一定都是小于k的，而前面证明了两个矩阵乘积的秩小于任何一个因子矩阵的秩，也就是说BC乘积的秩要小于等于k，从而说明上面的式子就是矩阵A的一个低秩近似，当然如何求低秩近似仍是在广泛研究的问题，本文只是为利用一个不等式为理解低秩近似提供一个新的视角。

转载地址：https://jianzhuwang.blog.csdn.net/article/details/51789760 如侵犯您的版权，请留言回复原文章的地址，我们会给您删除此文章，给您带来不便请您谅解！